55
Однако существует несколько дополнений стандартного метода
экспоненциального сглаживания. К таким методам относится метод двойного
экспоненциального сглаживания, это метод Хольта.
Чаще всего он используется, когда данные отображаются в виде тренда.
Двойное экспоненциальное сглаживание схоже с простым сглаживанием, но в
данном случае в каждом периоде обновляются две компоненты, а именно
уровень и тренд ряда. Уровень – это сглаженное значение данных в конце
каждого периода, а тренд – это сглаженное значение среднего роста в конце
каждого периода. Запись двойного экпоненциального сглаживания выглядит
следующим образом: Хольта 2-1. (см. таблицу 14).
Таблица 14
Модель линейного тренда Хольта – Уинтерса
Модель
Рекуррентная форма
Скорректированная
форма
Несезонная (2-1)
(модель Хольта)
С аддитивной
сезонностью (2-2)
С
мультипликативной
сезонностью (2-3)
где: α – сглаживающий параметр для уровня ряда;
– сглаживающий параметр для тренда;
– сглаживающий параметр для сезонных факторов;
S
t
– сглаженный уровень ряда, подсчитанный после наблюдаемого X
t
.
Также ожидаемая оценка данных в конце периода t в некоторых моделях;
T
t
– сглаженный тренд в конце периода t;
56
I
t
– сглаженный сезонный индекс или фактор в конце периода t;
X
t
– наблюдаемое значение временного ряда в периоде t;
m – число периодов в прогнозируемом процессе освоения;
p – число периодов в сезонном цикле;
– прогноз на m периодов вперед от первоначального t;
ε
t
– прогнозная ошибка на шаг вперед.
Среди преимуществ метода можно выделить его гибкость, позволяющая
выбирать соотношение, которое отслеживает и уровень, и наклон. Кроме
двойного сглаживания существует модель тройного экспоненциального
сглаживания. При наличии тренда и сезонности данный метод будет работать
максимально эффективно. Необходимо вносить третий параметр для
управления сезонностью, более того, вносится третье уравнение в систему
уравнений, которая названа моделью Хольта – Уинтерса. Существует две
разновидности в зависимости от типа сезонности, а именно модель с
аддитивной сезонностью и с мультипликативной.
Сезонные модели Хольта – Уинтерса чаще всего используются на
практике. Они являются развитием модели Хольта, а также отличаются от нее
наличием сезонной составляющей.
Нами была использована данная модель, которая учитывает особенности
линейного тренда, а также факторы сезонности. Параметры модели равны
следующим значениям:
α=0,6; β=0,3; γ=0,9
Расчет производился в четыре этапа:
а) расчет экпоненциально-сглаженного ряда в формуле (1).
, (1)
где S
t
– сглаженный уровень ряда, подсчитанный после наблюдаемого X
t
.
Также ожидаемая оценка данных в конце периода t в некоторых моделях;
57
α – сглаживающий параметр для уровня ряда;
X
t
– наблюдаемое значение временного ряда в периоде t;
I
t
– сглаженный сезонный индекс или фактор в конце периода t;
T
t
– сглаженный тренд в конце периода t;
p – число периодов в сезонном цикле.
б) определение значения тренда в формуле (2).
, (2)
где T
t
– сглаженный тренд в конце периода t;
– сглаживающий параметр для тренда;
S
t
– сглаженный уровень ряда, подсчитанный после наблюдаемого X
t
.
Также ожидаемая оценка данных в конце периода t в некоторых моделях;
T
t
– сглаженный тренд в конце периода t.
в) оценка сезонности в формуле (3).
, (3)
где I
t
– сглаженный сезонный индекс или фактор в конце периода t;
– сглаживающий параметр для сезонных факторов;
X
t
– наблюдаемое значение временного ряда в периоде t;
S
t
– сглаженный уровень ряда, подсчитанный после наблюдаемого X
t
.
Также ожидаемая оценка данных в конце периода t в некоторых моделях;
p – число периодов в сезонном цикле.
г) прогноз по методу Хольта-Уинтерса на p периодов вперед в формуле
(4).
58
, (4)
где – это прогноз по методу Хольта-Уинтерса на p периодов вперед;
S
t
– сглаженный уровень ряда, подсчитанный после наблюдаемого X
t
.
Также ожидаемая оценка данных в конце периода t в некоторых моделях;
m – число периодов в прогнозируемом процессе освоения;
p – число периодов в сезонном цикле;
T
t
– сглаженный тренд в конце периода t;
I
t
– сглаженный сезонный индекс или фактор в конце периода t.
Для того чтобы уточнить параметры модели, мы провели расчет 4-х
показателей:
– Среднее абсолютное отклонение
– Среднеквадратическая ошибка
– Средняя абсолютная ошибка
– Средняя процентная ошибка
Расчеты данных показателей можно рассмотреть в Приложении № 2.
Исходя из того, что средняя процентная ошибка не очень большая (0,34%), то
мы можем сделать вывод о том, что наша модель достаточно достоверно
описывает изменения, происходящие с курсом доллара к рублю.
Соответственно, после того, как было рассчитано прогнозирование,
необходимо определить, насколько велика ошибка данного прогноза. Для этого
.6574,0
120
8889,78
1
..
руб
n
StXt
О
n
i
отклабс
.3707,1
120
4836,164
1
2
.
руб
n
StXt
О
n
i
кв
%69,1
120
026,2
/
1
.
n
XtStXt
О
n
i
абс
%34,0
120
4103,0
/
1
.
n
XtStXt
О
n
i
проц
59
рассчитаем показатель симметричной средней процентной ошибки. MAPE
является средней процентной ошибкой, показывает точность метода
прогнозирования. Он был рассчитан не для всего ряда, а лишь для
ретропрогноза по формуле (5):
= (5)
Первый показатель оценивает весь временной ряд модели, а второй
оценивает ретропрогноз и отклонения модели прогноза от реальных
полученных значений, учитывая то, что мы прогнозируем данные за период,
который уже завершился, мы можем использовать фактические значения для
проверки точности модели прогнозирования.
Значения средней процентной ошибки и симметричной средней
процентной ошибки оказались на уровне 0,34% и 3,23% соответственно. Таким
образом, мы можем сделать вывод о том, что наша модель получилась
достаточно достоверной.
3.3. Выбор стратегий хеджирования валютного риска с помощью
деривативов
Исходя из полученных данных, в ходе прогнозирования методом Хольта-
Уинтерса, можем предложить свое решение данной практической ситуации.
Мы получили понижение доллара в течение всего периода, но для начала
рассмотрим ряд стратегий для хеджирования валютного риска, а затем выявим
отдельные стратегии конкретно для роста и для падения валюты (таблица 15).
Таблица 15
Стратегии хеджирования
Стратегия
Краткое описание
1 фьючерс на
рост
2 опциона put на
Опцион пут используется в том случае, если инвестор
предполагает, что цена базового актива будет снижаться.
Комбинация 1 фьючерса и 2 опционов put позволит
60
падение (страйк
80 и 76)
получить прибыль в случае снижения базового актива. В
данных стратегиях используется в первом случае –
опционы со страйками 80 и 76, во втором случае – опционы
со страйками 80 и 80. Во втором случае прибыль будет
больше, если базовый актив будет снижаться.
1 фьючерс на
рост
2 опциона put на
падение (страйк
80 и 80)
1 опцион call на
рост (страйк 76)
Покупка колла используется в том случае, если инвестор
предполагает рост базового актива.
Обычно покупают АТМ опционы, которые снижают риск
потери премии. Опцион у денег или АТМ это опцион, страйк
которого равен текущей цене базового актива. Стратегия
направленная, бычья.
Точка безубыточности = страйк + премия опциона
Доход неограничен по мере роста базового актива, а
потери ограничены премией опциона.
1 опцион put на
падение (страйк
76)
Стратегия используется, если инвестор предполагает, что
цена базового актива будет снижаться. Хеджер покупкой
пута может защитить свою длинную позицию на базовом
активе от снижения цены. Стратегия выраженная,
медвежья.
Точка безубыточности = страйк – премия опциона
Прибыль инвестора по мере снижения цены базового
актива неограниченна.
Потери ограничены уплаченной за опцион премией.
1 опцион call на
рост (страйк 80)
2 опциона put на
падение (страйк
76 и 80)
Покупка колла используется в том случае, если инвестор
предполагает рост базового актива. Стратегия с опционом
put на падение используется, если инвестор предполагает,
что цена базового актива будет снижаться. В данных
стратегиях используется в первом случае – опционы со
страйками 80 и 76, во втором случае – опционы со
страйками 80 и 80. Во втором случае прибыль будет
больше, если базовый актив будет снижаться.
1 опцион call на
рост (страйк 80)
2 опциона put на
падение (страйк
80 и 80)
Далее произведем расчет гарантийного обеспечения для каждой
стратегии (см. таблицы 16, 17, 18, 19).
Таблица 16
Вариант 1. Гарантийное обеспечение на хеджирование с покупкой
только опциона на рост
Начальны
е уровни
хеджиров
ания
Фьюч
ерс,
ГО %
Фьюч
ерс,
ГО,
руб.
Опц
ион
put,
мес.,
стои
м-ть
Опц
ион
put,
стои
м-ть,
%
100
фью
ч.,
руб.
100
опц.
,
руб.
Резерви
руемые
средства
на хедж
100000$,
руб.
Резервир
уемые
средства
на хедж
100000$,
%
На
15.06
72,
00
не
нужно
не
нужно
9 897
13,75
%
не
нуж
989
700
989 700
13,01%
61
но
На
15.06
74,
00
не
нужно
не
нужно
8 338
11,27
%
не
нуж
но
833
800
833 800
10,96%
На
15.06
76,
00
не
нужно
не
нужно
6 935
9,13
%
не
нуж
но
693
500
693 500
9,12%
На
15.06
78,
00
не
нужно
не
нужно
5 713
7,32
%
не
нуж
но
571
300
571 300
7,51%
На
15.06
80,
00
не
нужно
не
нужно
4 681
5,85
%
не
нуж
но
468
100
468 100
6,16%
Расчет гарантийного обеспечения на хеджирование с покупкой только
опциона на падение представлен в таблице 17.
Таблица 17
Вариант 2. Гарантийное обеспечение на хеджирование с покупкой
только опциона на падение
Начальны
е уровни
хеджиров
ания
Фьюч
ерс,
ГО %
Фьюч
ерс,
ГО,
руб.
Опц
ион
put,
мес.,
стои
м-ть
Опц
ион
put,
стои
м-ть,
%
100
фью
ч.,
руб.
100
опц.,
руб.
Резерв
ируемы
е
средств
а на
хедж
100000
$, руб.
Резервир
уемые
средства
на хедж
100000$,
%
На
15.06
80,
00
не
нужно
не
нужно
4 022
5,03
%
не
нуж
но
402
200
402 200
5,29%
На
15.06
78,
00
не
нужно
не
нужно
3 054
3,92
%
не
нуж
но
305
400
305 400
4,02%
Продолжение таблицы 17
На
15.06
76,
00
не
нужно
не
нужно
2 276
2,99
%
не
нуж
но
227
600
227 600
2,99%
На
15.06
74,
00
не
нужно
не
нужно
1 679
2,27
%
не
нуж
но
167
900
167 900
2,21%
На
15.06
72,
00
не
нужно
не
нужно
1 238
1,72
%
не
нуж
но
123
800
123 800
1,63%
62
Гарантийное обеспечение на хеджирование с покупкой фьючерса на рост
и 2 опционами на падение представлено в таблице 18.
Таблица 18
Вариант 3. Гарантийное обеспечение на хеджирование с покупкой
фьючерса на рост и 2 опционами на падение
Начальны
е уровни
хеджиров
ания
Фьюч
ерс,
ГО %
Фьюч
ерс,
ГО,
руб.
Опц
ион
put,
мес.,
стои
м-ть
Опц
ион
put,
стои
м-ть,
%
100
фью
ч.,
руб.
100
опц.,
руб.
Резерв
ируемы
е
средств
а на
хедж
100000
$, руб.
Резервир
уемые
средства
на хедж
100000$,
%
На
15.06
80,
00
6,00%
4 800
8 044
10,06
%
480
000
804
400
1 284
400
16,89%
На
15.06
78,
00
6,00%
4 800
6 108
7,83
%
480
000
610
800
1 090
800
14,34%
На
15.06
76,
00
6,00%
4 800
4 552
5,99
%
480
000
455
200
935 200
12,30%
На
15.06
74,
00
6,00%
4 800
3 358
4,54
%
480
000
335
800
815 800
10,73%
На
15.06
72,
00
6,00%
4 800
2 476
3,44
%
480
000
247
600
727 600
9,57%
Гарантийное обеспечение на хеджирование с покупкой опциона на рост и
покупкой 2 опционов на падение представлено в таблице 19.
Таблица 19
Вариант 4. Гарантийное обеспечение на хеджирование с покупкой
опциона на рост и покупкой 2 опционов на падение
Начальны
е уровни
хеджиров
ания
Фьюч
ерс,
ГО %
Фьюч
ерс,
ГО,
руб.
Опц
ион
put,
мес.,
стои
м-ть
Опц
ион
put,
стои
м-ть,
%
100
фью
ч.,
руб.
100
опц.,
руб.
Резерв
ируемы
е
средств
а на
хедж
100000
$, руб.
Резервир
уемые
средства
на хедж
100000$,
%
На
15.06
72,
00
13,75
%
9 897
2 476
3,44
%
989
700
247
600
1 237
300
16,27%
На
74,
10,70
8 338
3 358
4,54
833
335
1 169
15,38%
63
15.06
00
%
%
800
800
600
На
15.06
76,
00
9,13%
6 935
4 552
5,99
%
693
500
455
200
1 148
700
15,10%
На
15.06
78,
00
7,32%
5 713
6 108
7,83
%
571
300
610
800
1 182
100
15,54%
На
15.06
80,
00
5,85%
4 681
8 044
10,06
%
468
100
804
400
1 272
500
16,73%
В таблице 20 представлен конечный финансовый поток от хеджирования
валютного риска с помощью фьючерсов и опционов.
Таблица 20
Финансовый поток
Название стратегии
Финансовый поток
Хеджирование с покупкой фьючерса на рост и
опционом на падение
-485800
Хеджирование с покупкой только опциона на
рост
-693400
Хеджирование с покупкой только опциона на
падение
790200
Хеджирование с покупкой фьючерса на рост и
2 опционами на падение
Со страйками 80 и 80
512100
Со страйками 80 и 76
304400
Хеджирование с покупкой опциона на рост и
покупкой 2 опционов на падение
Со страйками 80 и 80
1527800
Со страйками 80 и 76
1320100
Исходя из полученных данных, можно сделать вывод, что к стратегиям на
рост базового актива относятся (см. таблицу 21): хеджирование с покупкой
опциона колл; покупка фьючерса на рост и опциона пут на падение; покрытый
опцион колл; бычий купленный колл спред; защита опционом пут;
защищенный деньгами проданный пут, а также обратный спред на рост.
К стратегиям на падение базового актива относятся: хеджирование с
покупкой опциона пут; покупка фьючерса на рост и двух опционов на падение;
покупка опциона колл на рост и двумя опционами пут на падение.
Таблица 21
Стратегии на рост и падение базового актива
64
Стратегии на рост базового актива
Стратегии на падение базового
актива
Хеджирование с покупкой только опциона
колл на рост
Хеджирование с покупкой только
опциона пут на падение
Хеджирование с покупкой фьючерса на
рост и опционом пут на падение
Хеджирование с покупкой фьючерса
на рост и двумя опционами пут на
падение
Покрытый опцион колл
Хеджирование с покупкой опциона
колл на рост и 2 опционов пут на
падение
Купленный колл спред (бычий)
Купленный пут спред (бычий)
Защита опционом пут
-
Защищенный деньгами проданный пут
-
Обратный спред на рост (бычий)
-
Для более подробного анализа составим графики стратегий, а также
определим каковы ожидания инвестора, а также сумму возможной прибыли и
убытков.
К первой стратегии на рост относится покупка опциона колл (рис. 6).
Инвестор считает, что рынок будет расти, при этом убыток ограничен для него,
а прибыль не ограничена.
Рисунок 6. Покупка опциона колл
Ко второй стратегии на рост относится покрытый опцион колл или
продажа опциона колл (рис. 7). Инвестор при этом думает, что рынок будет