54
Из сформулированного условия можно записать:
,
раз раз
, , 1
im
W m i A m e
(11)
Учитывая, что разомкнутая система представляет собой последовательное
соединение объекта и регулятора:
раз об рег
, , ,W m i W m i W m i
, получим:
рег
об
,
,
раз об рег
, , ,
im
im
W m i A m e A m e
об рег
,,
об рег
, , 1
i m m
A m A m e
(12)
Отсюда:
об рег
об рег
, , 1
,,
A m A m
mm
(13)
Частотные характеристики объекта и заданная степень колебательности
являются исходными данными для расчёта САР, характеристики регулятора
являются функцией неизвестных параметров настройки С(С
0
, С
1
, С
2
). Тогда
система уравнений запишется в виде:
об рег
об рег
, , , 1
, , ,
A m A m C
m m C
(14)
На первом этапе задача выбора оптимальных настроек регулятора
сводится к решению системы уравнений (14), неизвестными в которых являются
вектор параметров настроекС и рабочая частота ω
р
.
Очевидно, что для регуляторов с двумя или тремя параметрами настроек
эта система уравнений имеет бесчисленное множество решений[8]. Это
означает, что одного только ограничения по степени колебательности
недостаточно для однозначного выбора оптимальных настроек регулятора и
требуется какой-либо второй критерий качества.
При использовании метода расширенных частотных характеристик таким
критерием выбран интегральный квадратичный критерий, для которого
оптимальные настройки должны обеспечивать минимальное значение.
Таким образом на втором этапе расчёта оптимальные настройки выбирают
по минимуму интегрального критерия из числа тех настроек, которые
обеспечивают заданную степень колебательности системы, т.е. являются
решением уравнений (14). Рассмотрим подробнее методику выбора
55
оптимальных настроек для типовых регуляторов.
Расширенные частотные характеристики объекта для заданной степени
колебательности m = 0,2
РАФХ:
2
1,2
1
7,0
iw)m,(W
iwmw
e
iwmw
2
1,21,2
1
7,0
iwmw
ee
iwmw
(15)
РАЧХ:
2
2
1,2
1
7,0
w)m,(A
wmw
e
mw
(16)
РФЧХ:
mw
w
arctgw
1
21,2w)m,(
(17)
Настроечный параметр П-регулятора.
П-регулятор имеет один параметр настройки С
1
. Его расширенные
частотные характеристики совпадают с обычными, т.е.
П 1 П
( , ) ; ( , ) 0.A m C m
(18)
В этом случае уравнения принимают вид:
(19)
Рабочая частота ω
р
определяется из второго уравнения системы, а затем из
первого находится оптимальная настройка С
1
.
В нашем случае: ω
р
= 0,24 , С
1
= 0,76.
Настроечные параметры ПИ-регулятора:
ПИ-регулятор – регулятор с двумя параметрами настроек С
1
и С
0
. Его
расширенные частотные характеристики выводятся из передаточной функции
подстановкой
imp
:
0 0 1 1
ПИ 1
()
(m,i ) C
C C C m iC
W
m i m i
2 2 2
0 1 1
ПИ
2 2 2
()
( , )
C C m C
Am
m
11
ПИ
0 1 0 1
1
( , ) ( )
2
CC
m arctg arctg arctg arctg m
C C m m C C m
(20)
),(
1
),(
1),(
1
1
pоб
об
об
mA
C
m
CmA
56
(с учетом того, что
)(
2
1
marctg
m
arctg
).
После подстановки полученных выражений в уравнения выводятся
формулы для настроек регуляторов в следующем виде:
(21)
Поскольку в формулы для настроек входит неизвестная переменная ω, то,
следовательно, существует бесчисленное множество настроек С
1
и С
0
,
обеспечивающих заданную степень колебательности в данной САР, причём
каждой паре настроек соответствует своя рабочая частота.
Если в плоскости параметров С
1
, С
0
построить геометрическое место
точек, соответствующих определённой степени колебательности m*, получим
кривую, называемую кривой равной колебательности (рисунок 9)
Рисунок 9 - Плоскость параметров настроек ПИ-регулятора
Кривая m = 0 разбивает плоскость параметров настроек регулятора на
области устойчивой и неустойчивой работы САР.
Каждой точке этой кривой будет соответствовать своя пара настроек, но
на практике рекомендуется выбирать настроечные параметры, соответствующие
рабочей частоте регулятора.
Для расчёта кривой равной колебательности в плоскости настроек ПИ-
регулятора, подставим расширенные частотные характеристики объекта в
формулы и, задаваясь различными значениями , строим график в плоскости
параметров С
1
и С
0
(рисунок 10).
,(cos),(sin
),(
1
1
mmm
mА
С
обоб
об
)1(),(sin
),(
1
2
0
mm
mА
С
об
об
m=0
m=m*
С
1
С
0
С
1
*
С
0
*
Область
неустойчивых
настроек САУ
57
Рисунок 10 - Кривая равной колебательности в плоскости настроек
ПИ-регулятора
max
= 0,16 ,
р
= 0,17 , С
1
= 0,704, С
0
= 0,128.
Настроечные параметры ПИД-регулятора:
Для ПИД-регулятора вместо плоскости параметров имеем трехмерное
пространство. В этом случае определение оптимальных настроек производится в
следующем порядке.
Задаваясь различными значениями настройки С
2
, по формулам (22)
рассчитываем кривые равной колебательности в плоскости С
1
, С
0
.
2
22
02
об
1
cos sin 1 ;
,
m
C m C m
Am
2
02
об
1
cos 2 ;
,
m
C C m
Am
(22)
где
об
,arctgm m
.
Затем для каждого заданного С
2
находят оптимальные настройки С
1
и С
0
.
Для выбора оптимальной настройки С
2
необходимо осуществить
моделирование системы с ПИД-регулятором и оценить величину интегрального
квадратичного критерия I
3
. В качестве оптимального выбирают настройки той
САР, для которой критерий I
3
оказался минимальным.
58
0
0,05
0,1
0,15
0,2
0,25
0,3
0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8
C 1
C 0
C =0,1
2
2
C =0,3
C =0,7
2
Рисунок 11 - Кривые равной колебательности в плоскости настроек
ПИД -регулятора.
Таблица 9 - Полученные настройки
Регулятор
1
C
0
C
2
C
П
0,76
-
-
ПИ
0,704
0,128
-
ПИД
0,39
0,24
0,7
3.1.1 Анализ качества переходных процессов в цифровых
САР
Выполняем моделирование схемы в среде Simulink переходных процессов
на выходе регулятора и на выходе объекта. Программа Simulink является
приложением к пакету MATLAB. При моделировании с использованием
Simulink реализуется принцип визуального программирования, в соответствии с
которым, пользователь на экране из библиотеки стандартных блоков создаёт
модель устройства и осуществляет расчёты (рисунок 12).
59
Рисунок 12 - Структурная схема моделирования системы в Simulink с П-
регулятора.
Графики переходных процессов в цифровой САР уровня, приведённые
ниже, наглядно иллюстрируют влияние на качество регулирования величины
такта квантования Т (рисунки с13-20).
T=1
T=2
Рисунок 13 - График переходного процесса на выходе объекта для
П-регулятора при T=1, T=2
60
T=1
T=2
Рисунок 14 - График переходного процесса на выходе П-регулятора при
T=1, T=2
Рисунок 15 - Структурная схема моделирования системы в Simulink с ПИ-
регулятором
61
T=2
T=1
Рисунок 16 - Графики переходных процессов на выходе объекта для ПИ-
регулятора при различных значениях T=1, T=2
T=2
T=1
Рисунок 17 - Графики переходных процессов на выходе ПИ-регулятора при
различных значениях T=1, T=2
62
Рисунок 18 - Структурная схема моделирования системы в Simulink с ПИД-
регулятора
T=1
T=2
Рисунок 19 - Графики переходных процессов на выходе объекта для ПИД-
регулятора при различных значениях T=1, T=2
63
T=2
T=1
Рисунок 20 - Графики переходных процессов на выходе ПИД-регулятора
при различных значениях T=1, T=2
Таблица 10 - Качественные показатели переходных процессов
Регулятор
ст
y
дин
y
рег
t
П
0,65
0,21
65
77%
0,52
ПИ
0
0,42
95
42%
0,4
ПИД
0
0,34
70
34%
0,41
Согласно данным таблицы 10 требуемые показатели качества работы САР
могут быть обеспечены при настройках ПИД - регулятора.
За наилучшие принимаем те, которые обеспечивают заданное качество
регулирования. Следовательно, в качестве наилучших выбираем следующие
значения настроенных параметров:
24,0,39,0,7,0
012
CCC
.
При этих настроечных параметрах достигается наилучшие показатели
качества регулирование - статическая ошибка равна 0, невысокая динамическая
ошибка 0,34, время регулирования укладывается в требуемое значение,
незначительный процент перерегулирования, степень затухания ближе к
единице, относительно других регуляторов.
Итак, рассчитанная САР удовлетворяет требуемым показателям качества
работы: время регулирования Т
рег
100с; перерегулирование
≤35%.
Передаточная функция объекта управления описывается апериодическим