22
место и при формировании выходного проекта для уточнения под какой тип
веществ и с какими параметрами производился расчет.
4) Таблица «Горелки».
Необходима при комплектации соответствующей подсистемы блока
подачи энергии. Содержит все параметры полностью характеризующие
устройства по ключевому полю «Маркировка горелки», «Тип», «Тепловая
мощность», «Номинальный расход топлива», «Габариты», «Масса» и «FTP адрес
документации».
5) Таблица «Впускающие устройства».
Аналогично представленным выше, рассматриваемая таблица
используется при формировании выходной спецификации. Содержит поля:
«Маркировка впускающего устройства», «Диаметр», «Давление»,
«Максимальная не плотность вещества», «Мощность», «Номинальное
напряжение питания», «Габариты», «Масса» и «FTP адрес документации».
6) Таблица «Стойки».
Указанная таблица включает: «Маркировка стойки», «Тип»,
«Максимальная нагрузка», «Предельная вибрация», «Габариты», «Масса», «FTP
адрес документации».
Содержит оборудование являющееся результатом подсистемы расчета
конструкций опор. Записи из базы также заносятся в результирующую
спецификацию.
7) Таблица «Проекты».
Необходима для ведения подробной документации по каждому из
проектов. Здесь присутствуют поля «Дата», также, поле «Тип вещества» (жидкая
или твердая фаза) для которого производился конкретный расчет проекта и
который хранится по адресу в пространстве адресов сервера. Поля имеют
внешнюю связь с полями вышеуказанных расчетных таблиц, что позволяет
устранить избыток данных, орудуя адресации и ключами. Также каждая запись
об очередном отчете хранит найденные параметры, что позволяет, при сходных
входных параметрах, не производить пересчет данных, а использовать уже
готовый проект с возможными дальнейшими доработками, реализуя, тем самым,
принципы адаптивного метода планирования производства.
23
Таблица «Проекты» содержит поля: «Код», «Дата начала работ», «Дата
сдачи проекта», значения оптимального критерия «Значение трека», «Тип
вещества», «Маркировка камеры», «Маркировка двигателя нагнетателя»,
«Маркировка горелки», «Маркировка впускающего устройства», «Маркировка
стойки» и «FTP адрес документации».
Связь с внешней документацией осуществляется по полям адресов,
обозначенных в даталогической модели как «FTP адрес документации», что
позволяет получать доступ к ней сразу же из модуля клиента БД – это облегчает
работу оператора, сокращает время доступа и, соответственно, упрощает
процесс проектирования. Основные связи по типу «foreignkey – primarykey»
приведены в приложении.
Для обеспечения доступа к документации используется файловый сервер с
надстройками каскадного обновления содержимого при его редактировании
реализованный на технологии взаимодействия с протоколом FTP.
Последнее позволяет хранить чертежи, спецификацию и другую
документацию не только на весь проект, но и на каждый входящий в него
аппаратный модуль.
3.2. Математическое обеспечение
Математика системы представляет совокупность расчетов моментов
двигателя ротора, постановку критерия поиска оптимальных параметров
аппаратов получения энергии, соответствующих методов решения системы
уравнений математической модели и оптимизации. Рассмотрим подробнее
математическое обеспечение указанной САПР.
3.2.1. Критерий оптимизации
Задачи, под рассмотрение которых попадают вещества, двигающиеся под
действием центробежных сил в барабанах, камерах различного типа, как
правило /4,5/, сводятся к рассмотрению трека элементарных частиц этих веществ
в пространстве камеры. По размеру этого трека уже можно судить о полном
возможном прогорании частицы и об оптимальности работы установки в целом.
24
В данной задаче размер трека должен быть максимальным, что
будет свидетельствовать о наиболее полном контакте частицы биотоплива с
веществом окислителя. Подбирая камеру окисления и двигатель таким
образом, чтобы достигалось оптимальное значение трека, мы, в итоге,
гарантируем оптимальность работы оборудования.
Конструкционные параметры камер окисления определяются из условий,
поставленных заказчиком, как например длина камеры, зависящая от объемного
расхода перерабатываемой продукта биомассы, и от решения соответствующей
задачи поиска диаметра камеры, доставляющего оптимальное значение треку
частицы.
В то же время, на трек частицы напрямую воздействуют
воздушные потоки, создаваемые угловой пороговой частотой двигателя
насоса.
Таким образом, оптимальность работы камеры сгорания достигается
значением трека частицы вещества, оптимальность которого, в свою очередь,
достигается за счет варьирования частотой вращения ротора и диаметром
камеры. Диаметр камеры выступает в качестве конструкционного параметра, что
касается частоты вращения ротора, которая является технологическим
параметром, она напрямую влияет и на последующий выбор двигателя привода
ротора и, как следствие, насоса подкачки горючей окислителя.
В итоге, формализуя задачу оптимального поиска, необходимо
найти такие значения пороговой частоты ротора (ω) и радиус камеры (R),
которые доставят максимум значению трека частицы (M).
3.2.2. Математическая модель расчета траектории полета частицы в
камере с окислителем.
Модель имеет стохастический вид: зависимость координат x и z от
времени при задании всех остальных параметров. Время t варьируется от некой
точки расчета, примем ее за 0, до истечения некоторого операционного периода
установки
оп
.
25
Используя уравнения Лагранжа, получаем систему дифференциальных
уравнений движения частицы по пространству окислителя камеры, причем, с
учетом оператора Лангранжа, изменение скорости вращение потоков окислителя
задаем соотношением:
Дополним получившееся уравнения Лагранжа 2-го рода поправкой на
поступательное движение, получив математическую модель движения частицы:
где:
п
- перемещающая сила /6/;
- направляющий угол;
– радиус и масса элементарной частицы соответственно.
Последние две формулы будут приняты в качестве уравнений связи при
математическом приведении критерия оптимизации.
Опишем значение трека элементарной частицы в момент времени как:
Если рассматривать равенство трека именно как функцию, с учетом
модели дифференциальных уравнений выше, от переменных частоты и
радиуса камеры , который составляет половину его диаметра, то можно перейти
к математической постановке задачи оптимального поиска и рассматривать
функцию от двух переменных.
26
3.2.3. Задача оптимального поиска.
До приведения задачи оптимизации, в рамках рассматриваемой
Декартовой системы координат, без учета третьего базиса, переобозначим
законы движения по каждой из этих координат x(t) и z(t) (см. математическую
модель выше) через новые законы u( ) и v( ), т.к. значения пары перестают быть
константами системы дифференциальных уравнений и становятся переменными
в решении задачи оптимального поиска. Стоит отметить о сонаправленности
базисов системы (x,z) и (u,v).
С учетом того, что трек частицы в камере должен быть максимальным
для, обеспечивая тем самым оптимальную работу установки в целом,
необходимо найти такие значения частоты ротора, при которых функция трека
элементарной частицы (при (x,z)(u,v)) в базисе (u,v).
Действительно, при переборе по математической модели выше частоты
вращения и радиуса камеры, значение соответствующего трека определяется
однозначно, что дает некую его функцию от указанных параметров. Таким
образом, будем рассматривать не пространство времени, а пространство
координат ( ).
Общая задача оптимального поиска примет вид:
Далее, введем ограничения на поиск конструкционных параметров исходя
из конструкционных и технологических ограничений на параметры
оборудования и требований заказчика.
Для начала расчетов необходимо также ввести и начальные условия.
Математическая модель будет представлять дифференциальное уравнение
в частных производных по времени t и примет вид:
27
Решение поставленной задачи даст значения конструкционного и
технологического параметров, которые, в свою очередь, и будут гарантировать
оптимальность работы установки вне зависимости от длины рабочей камеры
сгорания биомассы. Касательно самих методов решения, то для обеспечения
оптимального поиска необходимо на каждом шаге оптимизации решать систему
указанных дифференциальных уравнений в частных производных по времени t,
получая однозначное определение критерия оптимального поиска – длины трека
M, которую, уже при использовании методов оптимизации функции двух
переменных будем приводить к экстремальному значению, полагая, что
критерий представляет некую функции переменных камеры и частоты ротора
насоса.
3.2.4. Методика решения задачи оптимального поиска.
Решение задачи оптимального поиска сводится к решению самой системы
дифференциального уравнения от выбранных параметров предельной угловой
частоты и радиуса и получению значения критерия от этих параметров, а уже
далее, оптимизации полученного решения относительно этих параметров. Таким
образом, на каждом шаге оптимального поиска будет решаться система
дифференциальных уравнений.
Аналитический подход решения полностью исключен /7/, особенно в
случае использования уравнения Навье-Стокса для моделирования процессов
перемещения тепла, поэтому качестве метода решения системы выберем метод
конечных разностей, как наиболее оптимальный в условиях огромного
количества вычислений при процессе поиска оптимального решения, учитывая,
28
что рассматриваемая система дифференциальных уравнений является системой
второго порядка, в частных производных и уравнения связанны между собой.
Согласно теореме Коши-Ковалевской, такое решение обязательно будет,
причем, искать решения в виде частных интерполяций, при условии
автоматизации поиска решения задачи не имеет смысла ввиду невозможности
предугадать эмпирически поведение решения дифференциальных уравнений в
пространстве варьируемых параметров. Последнее еще раз доказывает
достаточность и необходимость использования указанного метода решения
системы математической модели полета частицы.
Суть метода заключается в разбиении пространства G координат R и
ограниченной сеткой, причем последняя, при глубине расчетов и требований к
точности дифференцирования не обязана быть строго однородной ( ).
Рисунок 5.2 – Координатная сетка пространства параметров
оптимизации.
Далее, при введении замен частных производных, можно рассматривать
исходную систему как СЛАУ, которая в матричном виде выглядит как:
,
где: A – матрица коэффициентов, а t – искомый вектор решения:
t=(t
1
,t
2
,...,t
n
)
T
Свободная часть представлена:
f=(f
1
,f
2
,...,f
n
)
T
.
Поскольку, теперь имеет место рассмотрение СЛАУ, то в качестве метода
решения выберем метод «прогонки», представляющий приближения i-го
решения к некому пределу при i .
Остановом метода служит введенная погрешность:
29
Решения ищутся с использованием верхней релаксации, которая ведет к
уменьшению размерности задачи, поэтому (5.1) примет следующую форму
записи:
t
j
t
j
m
a
t
f
j
k
k
i
k
1
a
a
.
j
j
j
j
Формы дифференцирования и нахождения решения СЛАУ представляют
итеративный вид, таким образом, отталкиваясь от некоторого первичного
решения, выбранного в допустимой области, в приближении к окрестности
погрешности можно найти результат.
Приведенный метод резко сокращает количество вычислений, как
например, в методе Якоби или Ньютона, что полезно в условиях пересчета и
оптимизации решения.
В качестве метода оптимизации был выбран метод Бокса,
который, в свою очередь, является усовершенствованным методом
Нелдера-Мида и, в отличие от последнего, допускает деформацию
симплекса, что ведет к увеличению скорости поиска. Указанный метод
также функционирует в области ограничений функции, не критичен к
областям оврагов, что удобно в условии решения задачи оптимизации
рассматриваемой САПР при неизвестном виде целевой функции.
Учитывая это и высокую скорость поиска, простоту реализации выберем
указанный метод в качестве решения задачи оптимального поиска. Дадим
краткое описание указанного метода.
Целевая функция, как это показано выше, представляет зависимость двух
переменных:
Метод Бокса, как и Нелдера-Мида использует следующие операции:
30
- коэффициент растяжения 0 начальное значение которого равно
2.
Метод тестировался на сходимость и скорость на параболоидах
различного вида, частный пример которых приведен на рисунке ниже. Такое
рассмотрение позволило сделать вывод об относительной скорости и
сходимости метода Бокса в заданных границах области существования
параметров оптимизации, а, следовательно, применимости указанного метода к
решению поставленной в текущей работе задаче оптимального поиска и
использования его в качестве основного в построении математического аппарата
САПР.
Рисунок 5.3 – Пример решения на сечениях параболоида.
Возвращаясь к описанию метода Бокса, далее, циклично выполняются
следующие этапы поиска треугольным сжимающимся симплексом в области
параметров оптимизации.
Обозначим точку в области как переменную x, а целевую функцию, для
избегания переопределения, как f.
По найденным точкам выбирают пару с соответствующими им
наибольшим значениям целевой функции: (x
h
,f
h
) и (f
g
и x
g
). Будем стремится к
увеличению значения целевой функции в одной из указанных пар точек при их
варьировании в области.
Абсцисса центра тяжести треугольника определяется из следующего:
31