65
В параграфе 3.1 определены, какие номенклатурные позиции
приносят наибольшую прибыль предприятию. Полученные данные
необходимы для дальнейших исследований динамики размеров прибыли.
Целью задачи является построение детерминированной модели
транспортной проблемы, направленной на оптимизацию управления
запасами предприятия. Транспортная задача - это задача поиска таких
способов транспортировки продукта из точек производства в точки
потребления, в которых удовлетворяется покупательский спрос, а общая
стоимость транспортировки минимальна. Здесь под продуктом
подразумеваются детали, необходимые для бесперебойной работы
оборудования. Потребителем является сама транспортная компания.[27]
Большинство задач, которые необходимо решать в повседневной
практике, являются многомерными. Среди множества возможных вариантов
в условиях рыночных отношений необходимо найти в каком-то смысле
лучший вариант с учетом ограничений, накладываемых на природные,
экономические и технологические возможности. Такие задачи называются
задачами оптимизации.
Чтобы решить задачу оптимизации математическими методами,
необходимо составить ее математическую модель. Математическая модель
задачи представляет собой отражение оригинала в виде набора функций,
уравнений, неравенств, чисел и т. д. Модель задачи оптимизации включает в
себя:
- набор неизвестных величин x = (x1, x2, ..., xn), варьируя которые вы
можете найти оптимальное решение. Они называются планом (решением)
проблемы;
- целевая функция (критерий оптимальности). Целевая функция
позволяет получить численную оценку (критерий) оптимальности
выбранного решения. Лучший вариант обеспечивает крайнюю ценность для
целевой функции. Целевой функцией может быть прибыль компании,
66
производственные затраты, выпуск продукции и т. Д., Выраженные через
неизвестные х;
- условия (или система ограничений), налагаемые на неизвестные
величины. Эти условия, например, вытекают из ограниченных ресурсов,
доступных компании на данный момент: материальных, трудовых,
финансовых, технологических и т. д.
Число неизвестных n называется размерностью задачи.
В большинстве практических задач план (переменные) задачи
упрощается ограничением не отрицательности: xi ≥ 0, (i = 1, ..., n). Строить
планыx = (x1, x2, ..., xn,), которая удовлетворяет всем ограничениям задачи,
называется приемлемым решением проблемы.
Допустимое решение, при котором функция принимает экстремальное
значение, называется оптимальным решением.
При решении достаточно большого числа задач оптимизации все
искомые переменные или их часть должны принимать только целые
значения. Здесь система ограничений в задачах с целочисленными
переменными дополняется ограничениями типа:
- xk - целое число, k = 1, 2, ..., m;
- m - число целочисленных переменных, m ≤ n;
- n - общее количество переменных.
Задачи оптимизации, в которых требуемые переменные или их часть
должны быть целыми числами, решаются методами целочисленного
программирования.
Введение дополнительных ограничений на целые числа переменных
значительно увеличивает объем вычислений и усложняет вычислительную
процедуру при поиске оптимального решения. Однако в заданном диапазоне
изменения переменной целочисленная переменная имеет меньше значений,
чем непрерывная переменная. Так, например, в диапазоне 0≤ x≤ 3 x
принимает значения 0, 1, 2, 3, а непрерывная переменная - бесконечное
количество значений.
67
АТП ООО «Алексгрупп» включает в себя оборудование для оказания
услуг клиентам и предприятиям. Время от времени оборудование
изнашивается, выходят из строя комплектующие, что напрямую ведет к
меньшему охвату оборудования. Для стабильной работы оборудования
необходимо поддерживать все детали в хорошем состоянии. Задание было
построено согласно статистике потребления деталей, приобретенных
предприятием в 2018 году.
Необходимо определить оптимальный размер заказа для девяти часто
используемых деталей оборудования. Для каждого из них известны цены
покупки, спрос, затраты на поставку и хранение единицы продукции, а также
ограничение на объем финансирования покупки (бюджета). Период времени
для спроса на продукт составляет 100 дней.
Экономико-математическая модель проблемы.
Предположить, что:
- оптимальный объем заказа по типу продукции - Sn (n = 9);
- общие затраты на хранение - ∑C_2;
- общая стоимость доставки - ∑C_1;
- общая стоимость покупки
????
????
????????
, (1)
где
????
????
– общий размер заказа n-позиций, шт.;
????
????
– совокупная цена деталей n-позиций, руб.
Тогда ЭРЗ находится по следующей формуле:
????
????
????
???? , (2)
где
- общие затраты на поставку, руб.;
- общие затраты на хранение, руб.;
68
Q – спрос предприятия, шт.;
– размер заказа, заказываемого предприятием, шт.
Данные для проведения расчета приведены в таблице 7.
Таблица 7
Исходные данные для задачи «Управление запасами»
Наименование
оборудования
Затраты на
хранение единицы
товара (С2), руб.,
≈5% от Z
Спрос (Q), шт.
Затраты на
поставку единицы
товара (С1), руб.,
≈10% от Z
Цена за единицу
продукции (Z),
руб.
Бюджет на
покупку
оборудования, (V),
руб.
крышка горловины
(котла)
1250
50
2500
25000
седло впускного
клапана
180
35
360
3600
прокладка впускного
клапана
160
70
320
3200
пружина
предохранительного
клапана
75
60
150
1500
штуцер донного
клапана с
пневматическим
приводом, дкп-90
600
32
1200
12000
отстойник для сбора
(механических
примесей в топливе)
2400
25
4800
48000
аккумулятор 6ст – 190
АПЗ, 1200 A, 12В
2875
55
5750
57500
искрогаситель
нагревателя нефти
4000
30
8000
80000
патрубок
предохранительного
клапана
200
18
400
4000
ИТОГО:
11740
375
23480
234800
3000000
Целевая функция. Общие затраты включают в себя сумму общих
затрат на доставку вместе с общими затратами на хранение с целью
минимального:
69
(3)
Общие затраты на снабжение - произведение отношения спроса к
размеру заказа на затраты на снабжение
????
????
???????? (4)
Общие затраты на хранение - половина продукта от размера заказа на
расходы на хранение [34]
????
???? (5)
Ограничения цены покупки ≤ бюджет покупки; Vs ≤ V, Sn ≥0.
Расчеты выполнены в MicrosoftExcel.
Для наглядного отображения информации создаем таблицу с
формулами, связывающими план, ограничения и целевую функцию (RP)
(таблица 8). Данные не могут принимать отрицательное значение. [34]
Таблица 8
Формулы для расчета ограничений и целевой функции
С
D
E
F
G
1
4
КОРЕНЬ((2*D2*C
2)/B2)
B14*E2
B14*B2/2
D2*C2/B14
E14+F14
70
1
5
КОРЕНЬ((2*D3*C
3)/B3)
B15*E3
B15*B3/2
D3*C3/B15
E15+F15
1
6
КОРЕНЬ((2*D4*C
4)/B4)
B16*E4
B16*B4/2
D4*C4/B16
E16+F16
1
7
КОРЕНЬ((2*D5*C
5)/B5)
B17*E5
B17*B5/2
D5*C5/B17
E17+F17
1
8
КОРЕНЬ((2*D6*C
6)/B6)
B18*E6
B18*B6/2
D6*C6/B18
E18+F18
1
9
КОРЕНЬ((2*D7*C
7)/B7)
B19*E7
B19*B7/2
D7*C7/B19
E19+F19
2
0
КОРЕНЬ((2*D8*C
8)/B8)
B20*E8
B20*B8/2
D8*C8/B20
E20+F20
2
1
КОРЕНЬ((2*D9*C
9)/B9)
B21*E9
B21*B9/2
D9*C9/B21
E21+F21
2
2
КОРЕНЬ((2*D10*
C10)/B10)
B22*E10
B22*B10/2
D10*C10/B2
2
E22+F22
2
3
СУММ(C14:C22)
СУММ(D14:D2
2)
СУММ(E14:E
22)
СУММ(F14:F
22)
СУММ
(G14:G22)
В принципе, в исходной модели оптимальное решение по формуле
Уилсона уже получено, однако у компании нет необходимого объема
финансирования (3 522 000,00 рублей), поэтому необходимо найти
оптимальное решение в рамках ограниченные денежные средства
(3 000 000,00 рублей).Формулы расчета значений приведены в таблице 9.
Настройка параметров модели в «Поиске решения». Надстройка
SolutionFinder является частью набора команд, которые иногда называют
инструментами анализа «что, если». Используя эту надстройку, вы можете
найти оптимальное значение (максимальное или минимальное) формулы,
содержащейся в одной ячейке, называемой целью, с учетом ограничений на
значения в других ячейках с формулами на листе.
Надстройка «Поиск решения» работает с группой ячеек, называемых
ячейками переменных решения, или просто ячейками переменных, которые
используются для вычисления формул в целевых ячейках и ячейках
ограничений.
Таблица 9
Реализация, нахождения данных в Excel
71
Наименование
оборудования
Разме
р
заказ
а, S0,
шт.
ЭРЗ
,
шт.
Стоимост
ь, руб.
Общие
затраты
на
хранен
ие (С2),
руб.
Общие
затрат
ы на
постав
ку
(С1),
руб.
Общие
затраты
, руб.
крышка горловины
(котла)
15
14
375000
9375
8333
17708
седло впускного
клапана
15
12
54000
1350
840
2190
прокладка впускного
клапана
15
17
48000
1200
1493
2693
пружина предохр-го
клапана
15
15
22500
562,5
600
1162,5
штуцер донного
клапана с
пневматическим
приводом, дкп-90
15
11
180000
4500
2560
7060
отстойник для сбора
(механических
примесей в топливе)
15
10
720000
18000
8000
26000
аккумулятор 6ст –
190 АПЗ
15
15
862500
21562,5
21083
42646
искрогаситель нагр-
ля нефти
15
11
1200000
30000
16000
46000
патрубок
предохранительного
клапана
15
8
60000
1500
480
1980
ИТОГО:
135
114
3522000
88050
59390
147440
Настройка параметров модели в «Поиске решения». Надстройка
является частью набора команд, которые иногда называют инструментами
анализа «что, если ?». Используя эту надстройку, вы можете найти
оптимальное значение (максимальное или минимальное) формулы,
содержащейся в одной ячейке, называемой целью, с учетом ограничений на
значения в других ячейках с формулами на листе.
Надстройка «Поиск решения» работает с группой ячеек, называемых
ячейками переменных решения, или просто ячейками переменных, которые
используются для вычисления формул в целевых ячейках и ячейках
ограничений.
Надстройка «Поиск решения» изменяет значения в ячейках
переменных решения в соответствии с пределами ячеек ограничения и
72
отображает результат в целевой ячейке. Мы также применяем условие целого
числа, поскольку размер заказа не может быть десятичным (рисунок 15).
Рисунок 15 – Надстройка «Поиск решения»
Пояснения Целевая функция - G23 (общая стоимость). Минимальное
решение. Решение - B14: B22 (размер заказа).
Ограничения - D23 ≤ F11 (общая стоимость доставки товаров не
должна превышать 3 000 000,00 рублей).Результат решения задачи
поясняется ниже в таблице 10.
73
Таблица 10
Результат нахождения целевой функции путем надстройки
«Поиск решения»
Наименование
оборудования
Размер заказа,
S0, шт.
ЭРЗ, шт.
Стоимость, руб.
С2, руб.
С1, руб.
Общие затраты,
руб.
крышка горловины
(котла)
14
14
350000
8750
8928,6
17678,6
седло впускного
клапана
12
12
43200
1080
1050
2130
прокладка впускного
клапана
17
17
54400
1360
1317,6
2677,6
пружина
предохранительного
клапана
15
15
22500
562,5
600
1162,5
штуцер донного
клапана с
пневмоприводом,
дкп-90
11
11
132000
3300
3490,9
6790,9
отстойник для сбора
(механических
примесей в топливе)
10
10
480000
12000
12000
24000
аккумулятор
15
15
862500
21562,5
21083,3
42645,8
искрогаситель
нагревателя нефти
11
11
880000
22000
21818,2
43818,2
патрубок предохр.
клапана
8
9
32000
800
900
1700
ИТОГО:
113
114
2856600
71415
71188,6
142603,64
На основании полученных результатов можно сделать следующий
вывод: транспортной компании необходимо заказать меньший размер детали,
поскольку они ограничены бюджетом для финансирования покупки товаров.
Множитель Лагранжа (0,63) указывает на возможность сокращения общих
затрат при увеличении бюджета.
Отчет о результатах используется для создания отчета, содержащего
информацию о времени решения задачи, количестве итераций, параметрах
поиска решения, информации о целевой функции, ячейках с переменными и
ограничениями, и обычно отображается автоматически. Время решения
составляло 0,265 секунды. Количество итераций: 0. Количество подзадач: 20.
74
Точность расчета ограничения была 0,0001. Автоматическое
масштабирование было использовано. Целочисленное отклонение составило
1%, переменные были сведены к неотрицательным числам без ограничений.
На основании полученной модели можно рассчитать частоту поставок
(таблица 11). Все числа были округлены до ближайшего целого.
Таблица 11
Расчет количества и периода поставок деталей
Наименование заказа
Размер
заказа, S0,
шт.
ЭРЗ, шт.
Спрос (Q),
шт.
Количество
поставок
(Ko= Q/ S0)
Период
поставок
(То= θ/ Ko)
крышка горловины (котла)
14
14
50
4
28
седло впускного клапана
12
12
35
3
34
прокладка впускного клапана
17
17
70
4
24
пружина предохранительного
клапана
15
15
60
4
25
штуцер донного клапана с
пневматическим приводом, дкп-
90
11
11
32
3
34
отстойник для сбора
(механических примесей в
топливе)
10
10
25
3
40
аккумулятор 6ст – 190 АПЗ
15
15
55
4
27
искрогаситель нагревателя нефти
11
11
30
3
37
патрубок предохранительного
клапана
8
9
18
2
44
ИТОГО:
113
114
375
29
294
Согласно расчету, оптимальный план - заказать «крышку горловины
(котла)» деталь 4 раза в количестве 14 штук с периодом 28 дней, детали
«седло впускного клапана» 3 раза в количестве 12 штук с периодом 34 дня,
детали «прокладка впускного клапана» 4 раза в количестве 17 штук с
периодом 24 дня, детали «пружина предохранительного клапана» 4 раза в
количестве 15 штук с периодом 25дней, детали «подгонка нижнего клапана с
пневмоприводом ДКП-90» 3 раза в количестве 11 штук с периодом 24 дня,
детали «отстойник для сбора (механический и влажный в топливе)» 3 раз в
количестве 10 штук с периодом 40 дней, детали «аккумулятор 6ст - 190 АПЗ»