52
входного сигнала совпадает с вектором y выходного сигнала при
полностью управляемой и наблюдаемой системе, то эта система будет
гиперустойчивой, если для всех u(t), управляющих интегральному
неравенству:
(52)
справедливо неравенство:
(53)
где обозначает начальное значение вектора состояния ,
– некие положительные константы. Если для всех векторов u, наряду с
(2.28) и (2.29), справедливо условие:
(54)
то эта система будет являться асимптотически устойчивой.
На практике, гиперустойчивая система не имеет внутренних
источников энергии, а значит, нарастание амплитуды переменных
состояния зависит только от входного воздействия. В результате,
значения переменных состояния не могут стремиться к бесконечности,
поскольку уровень входного сигнала, как правило, ограничен. Если
состояние системы стремиться к нулю, то эта система является
асимптотически устойчивой. Эти условия справедливы для систем
стандартного вида, показанной на рисунке 34 где обозначено: G(s) –
матрица линейной части; F(y) – матрица нелинейной части; w – входное
воздействие; u – ошибка регулирования; y – выходная переменная [14].
Чтобы применить теорию гиперустойчивости в частотной области
необходимо выполнение следующих условий:
Для линейной части:
1. Количество входных сигналов должно совпадать с
количеством выходных сигналов матрицы G(s). Если это не выполняется,
53
как на рисунке 2, то вводят дополнительное количество входов (или
выходов), как показано на рисунке 35б [14].
Рис. 34. Структурная схема стандартной системы управления
Рис. 35. Приведение количества входных сигналов к выходным
сигналам
2. Матрица G(s) должна быть полностью управляемой и
наблюдаемой.
3. Все элементы матрицы G(s) должны быть устойчивыми
(полюса всех передаточных функций должны быть представлены
комплексными числами с отрицательной вещественной частью).
4. Порядок числителя должен быть выше порядка знаменателя
во всех передаточных функциях матрицы G(s).
Для нелинейной части:
54
1. Операция v = F(y) осуществляет однозначное отображение у в
v. Не выполняется для элементов гистерезисного типа.
2. Отображение v = F(y) должно удовлетворять условию
обнуления. Пример на рисунке 36 [14].
Рис. 36. Пример нелинейной части, выполняющей условие
обнуления
Если указанные требования удовлетворяются, то можно перейти к
анализу основных условий линейной части и нелинейной части.
Достаточные условия гиперустойчивости: Система, (см. рисунок 55)
будет асимптотически устойчивой, если линейная часть G(s) является
строго положительной, а нелинейная часть F(y) удовлетворяет
интегральному неравенству Попова:
(55)
Особенность заключается в том, что если нелинейная часть
удовлетворяет условию (56), то линейную часть можно рассматривать
сразу как асимптотически устойчивую. Это означает, что условие (56)
определяет устойчивость системы в целом [14].
Справедливо следующее утверждение: любая гладкая нелинейная
функция , определенная и дважды непрерывно
55
дифференцируемая в компактной области и удовлетворяющая условию f
, может быть аппроксимирована с любой степенью точности
вместе со своей производной посредством линейных систем Такаги-
Сугено. Точность аппроксимации будет зависеть от диаметра разбиения
множества. Это приводит к тому, что чем точнее мы хотим
аппроксимировать систему, тем больше правил следует внести, что
значительно усложняет процесс.
Выводы по главе
Если подходить к вопросу более подробно, то прежде чем
анализировать систему на предмет устойчивости требуется преобразовать
нелинейную систему путем построения для нее линейной нечеткой
модели. Есть два способа реализации:
1. Идентификация на основе использования данных о системе.
2. Аналитическое построение нечеткой модели, приближенно
представляющую данную нелинейную систему.
Второй способ предпочтителен только в том случае, если у
нелинейной системы имеются обыкновенные дифференциальные
уравнения. Сохранив непрерывность посредством метода Такаги-Сугено,
можно совершить переход от нелинейной системы к совокупности
линейных систем дифференциальных уравнений.
56
Глава 3. ИССЛЕДОВАНИЕ ЛИНЕЙНЫХ РЕГУЛЯТОРОВ
Основываясь на математической модели и расчетах следящего
электропривода, проведем моделирование систем в пакете
MATLAB/Simulink. Данный пакет является универсальным, так как у него
есть все необходимые инструменты для моделирования системы, а также
он достаточно прост в освоении этих инструментов и их доступности как
на языке программирования высокого уровня, так и низкого уровня.
3.1. Исследование системы с линейным П-регулятором
Реализация математической модели следящего электропривода с
линейным П-регулятором положения, настроенной на ОМ, приведена на
рисунке 37. В качестве задающего воздействия выбрана единичная
ступенчатая функция.
Переходные характеристики, снятые с осциллографа, показаны на
рисунке 38.
Рис. 37. Модель следящего электропривода с П-регулятором
положения
57
Рис. 38. Переходная характеристика
Результаты моделирования:
• Установившееся значение = 1;
• Время нарастания = 0.02574 сек.;
• Время регулирования сек.;
• Перерегулирование = 2.7%;
Как видно, П-регулятор в полной мере обеспечивает нам
переходную характеристику, настроенную на ОМ, что подтверждает
проведенные ранее расчеты.
3.2. Исследование системы с линейным ПИ-регулятором
В данном случае применяется ПИ-регулятор в контуре положения,
настроенный на СО. В остальном, система и тип задающего воздействия
остаются прежними. Реализация модели с ПИ-регулятором приведена на
рисунке 39. На рисунке 40 показана переходная характеристика.
58
Рис. 39. Модель следящего электропривода с ПИ-регулятором
положения
Рис. 40. Переходная характеристика
Результаты моделирования:
• Установившееся значение = 1;
• Время нарастания = 0.0165 сек.;
• Время регулирования сек.;
• Перерегулирование = 48%;
В данном случае результаты удовлетворяют требованиям по СО, что
опять же подтверждает расчеты.
59
3.3. Исследование системы с линейным ПД-регулятором
ПД-регулятора в контур положения не предписывается ни
настройкой на ОМ, ни настройкой на СО, однако он необходим для
дальнейшего исследования. Тип задающего воздействия и исходная
система по-прежнему без изменений. Модель следящего электропривода
с ПД-регулятором положения показана на рисунке 41, а переходная
характеристика по положению в этой системе показана на рисунке 42.
Рис. 41. Модель следящего электропривода с ПД-регулятором
положения
Рис. 42. Переходная характеристика
60
Результаты моделирования:
• Установившееся значение = 1;
• Время нарастания = 0.07 сек.;
• Время регулирования сек.;
• Перерегулирование = 0%;
Применение ПД-регулятора сводит перерегулирование к нулю за
счет увеличения времени нарастания.
Как видно, каждый регулятор придает системе уникальные
свойства, что дает дальнейшую почву для анализа. При всем при этом
учтем, что отсутствуют возмущения и другие факторы, которые могут
нежелательно повлиять на систему.
3.4. Система с нечетким регулированием
В данном параграфе будут рассматриваться нечеткие системы как
без учета нормализации, так и с учетом нормализации. Нормализация
должна приводить систему к характеристике, которая в данной работе
будет являться наиболее оптимальной, в данной работе эта
характеристика при U = 1. Все нечеткие системы сразу сравниваются с
линейными аналогами.
3.5. Система с нечетким регулятором по задающему
воздействию и ошибке
В качестве регулятора по положению применим нечеткий регулятор
по задающему воздействию и ошибке. Модель системы с этим
регулятором изображена на рисунке 43.
61
Рис. 43. Система с нечетким регулятором по положению и ошибке
Так как регулятор не содержит ни интеграла, ни производной, то эта
система будет сравниваться с системой с линейным П-регулятором.
Результаты моделирования и сравнения обоих систем приведены на
рисунках 44-46.
Рис. 44. Результаты моделирования при U = 10