42
• Алгоритм Такаги-Сугено:
Процесс фаззификации осуществляется через набор правил
следующей формы:
Для каждого правила вычисляются y и уровень активации:
(45)
Композиция вычисляется как отношение суммы результатов
отдельных правил, умноженных на соответствующие уровни активации,
к сумме соответствующих уровней активации
(46)
Дефаззификация происходит по среднему центру.
Для данной работы нам достаточно такого количества алгоритмов,
реализующих нечеткий логический вывод, а также алгоритмов,
осуществляющих дефаззификацию нечеткой переменной в четкую [7],
[8].
2.3. Нечеткая логика в ПД- и ПИД-регуляторах
Из-за нелинейно изменяющихся эмпирических коэффициентов
оператору зачастую тяжело получить достаточную информацию об
объекте управления, что приводит к затруднению, а порой даже и
невозможности, использование классических линейных методов
управления. Нечеткая логика не только позволяет оператору
компенсировать эти нелинейности, но и способно улучшить необходимые
показатели качества системы, которые было бы невозможно придать
линейными методами. На сегодняшний день контроллеры на нечеткой
43
логике применяются в доменных печах, спортивных телекамерах,
автомобилях, скоростных поездах.
Большинство классических управляемых объектов описывается
дифференциальными уравнениями. Эта особенность привела к созданию
регулятора, содержащего пропорциональное, интегрируемое и
дифференцируемое звено.
Итоговое уравнение ПИД-регулятора имеет вид:
(47)
Где – поправочное значение, может иметь нулевое значение; –
коэффициент усиления; – ошибка регулирования; –
постоянные времени интегрирования и дифференцирования.
Производная от ошибки позволяет регулятору нейтрализовать
нежелательные колебания и снизить значение перерегулирования.
Интеграл от ошибки позволяет уменьшить эту ошибку в системе [9].
Известны два пути использования нечеткой логики в ПИД-
регуляторах: проектирование самого регулятора и подстройка
коэффициентов ПИД-регулятора.
Рассмотрим первый способ, указанный на рисунке 26 [10].
Обозначения на рисунке 7: P – объект управления, e – ошибка
регулирования, r – входное воздействие, – нечеткая переменная, u –
управляющее воздействие.
Рис. 26. Структура нечеткого ПД-регулятора
44
На вход поступают две переменные – это ошибка e и вычисленная
ее производная по времени, которые подвергаются операции
фаззификации. Затем, на основании занесенной базе правил, формируется
логический вывод, после которого на выходе сформируется нечеткая
переменная. После этого происходит дефаззификация переменной
обратно в четкую, которая будет уже являться управляющим
воздействием u. На рисунке 27 показан процесс фаззификации где: е –
переменная, подлежащая фаззификации; – ось значений функций
принадлежности; и – максимальное и минимальное значение е, граничные
интервалы разбиения переменной е при фаззификации [10]. Суть состоит
в том, что переменная разбивается на различные множества. Каждая из
этих множеств имеет свою собственную функцию принадлежности
определенной формы и диапазона. В данном случае переменная е
разбивается на 7 множеств: NL – отрицательный большой (Negative
Large); NM – отрицательный средний (Negative Medium); NS –
отрицательный малый (Negative Small); Z – нулевой (Zero); PS –
положительный малый (Positive Small); PM – положительный средний
(Positive Medium); PL – положительный большой (Positive Large). И эти
множества имеют треугольную форму функций принадлежностей
(наиболее распространенную в силу простоты их освоения и
работоспособности) и определенные диапазоны их применения.
Рис. 27. Деление области переменной e на множества с функциями
принадлежности треугольной формы
45
Допустим, что ошибка на входе регулятора достигло значения .
Это значение попадает в диапазон сразу двух множеств - PS при
, и PM при . В диапазоны функций
принадлежностей других множеств значение не попадает, значит
принадлежность к ним равна нулю и процесс фаззификации на этом
можно считать завершенным.
Далее над этими множествами должны быть выполнены логические
операции, построенные на основании нечетких правил. Эти правила
используются для формирования нечеткого логического вывода,
результатом которого будет нечеткая логическая переменная.
Правила будут следующими:
Далее необходимо найти функцию принадлежности . Для этого
используем алгоритм Мамдани.
Теперь, когда найдена нечеткая величина и соответствующая ей
функция принадлежности , можно осуществить процесс
дефаззификации для ее дальнейшего использования в качестве
управляющего воздействия на объект.
Для этого воспользуемся методом среднего центра [10].
46
Реализация ПИД-законов является весьма сложной задачей.
Трехмерная таблица правил, соответствующая трем слагаемым в ПИД-
контроллере, не поддается заполнению при использовании только ответов
эксперта. Поэтому, при синтезе нечеткого ПИД-регулятора принимают
ряд следующих упрощений:
1. Производная предназначена только для борьбы с
перерегулированием.
2. Интеграл сводит к минимуму статическую ошибку и никак не
влияет на быстродействие.
В результате получаем структурную схему нечеткого ПИД-
регулятора, показанную на рисунке 28, где обозначены: e(t) – ошибка
регулирования, e(t)/dt – производная от ошибки, u(t) – управляющее
воздействие, – настраиваемые коэффициенты [9].
Рис. 28. Структура нечеткого ПИД-регулятора.
Получается, что регулятор ПД-типа вырабатывает не сигнал
управления, а его приращение. Таким образом, при синтезе ПИД-
регулятора мы используем ПД-регулятор и улучшаем его характеристики
путем добавления интеграла от ошибки [9].
В некоторых системах целесообразнее и экономнее использовать
нечеткое управление в линейных ПИД-регуляторах в качестве устройства,
которое будет подбирать коэффициенты усиления регулятора в
зависимости от изменяющихся условий, как это показано на рисунке 29,
47
где обозначены: R – сам ПИД-регулятор; – коэффициенты ПИД-
регулятора; P – объект управления. Эта структура называется авто-
настройка, и она обладает достаточными преимуществами – уменьшение
перерегулирования, снижение времени восстановления и повышение
работоспособность регулятора [10].
Рис. 29. Структура ПИД-регулятора с блоком авто-надстройки
Сначала блок авто-настройки определяет начальные коэффициенты
K, с помощью метода Зиглера-Никольса, исходя из периода
собственных колебаний в замкнутой системе и петлевого усиления. После
этого сформулируем функцию (критерий), необходимый для поиска
оптимальных значений параметров настройки методами оптимизации.
Процесс авто-настройки идет в несколько этапов:
1. Выбор диапазона входных и выходных сигналов, функций
принадлежности, искомых параметров, правила нечеткого вывода,
механизм логического вывода, метод дефаззификации.
2. Выбор диапазонов масштабных множителей, необходимых
для пересчета четких переменных в нечеткие.
Для поиска параметров регулятора выбирается целевая функция как
интеграл от суммы квадратов ошибки регулирования и времени
установления, а также скорость нарастания выходной переменной
объекта, если это нужно. В качестве искомых параметров выбирают
48
положения максимумов функций принадлежности и масштабные
коэффициенты на входе и выходе блока авто-настройки [10].
Однако, системы с подобными структурами не обладают
возможностью адаптации к кардинальным изменениям в структуре и
параметрах управляемого объекта. Это приводит к тому, что приходиться
рассматривать еще и законы адаптивного управления. Структура
адаптивно-нечеткой системы управления представлена на рисунке 30 [11].
Рис. 30. Структура Адаптивно-нечеткого регулятора
Этот регулятор имеет двухуровневую структуру. На первом уровне
осуществляется исполнительный процесс, на втором осуществляется его
корректировка в зависимости от изменяемых параметров объекта.
При изменениях характеристик объекта управления нечеткий
исполнительный уровень начинает выдавать величину, не
соответствующую заданному качеству. В результате корректирующий
уровень, основываясь на собственной нечеткой структуре, начинает
корректировать блок правил машины нечеткого вывода исполнительного
уровня, причем корректируются те правила, при которых объект
управления выдал неправильный результат.
49
Существенный недостаток таких систем – это отсутствие единого
алгоритма для адаптации, то есть каждую систему необходимо
настраивать индивидуально [11].
Еще одна разновидность нечеткого управления – это нейронные
сети. Они используются теми же способами, что и нечеткие регуляторы,
однако, в отличии от последних, они не требуют сформулированных
заранее правил – достаточно настройки регулятора во время “обучения”
сети. Эта идея была сформулирована в 1943 году Мак-Каллоком и
Питтсом.
Искусственный нейрон – это функциональный блок с одним
выходом и входом y и n входами , реализующий нелинейное
преобразование:
(48)
Где – весовые коэффициенты входных переменных ; –
постоянное смещение; – функция активации нейрона, вида:
(49)
где a – некий параметр.
Рис. 31. Структура нейронной сети в блоке авто-настройки
Нейронная сеть – это неограниченное множество связывающих
нейроны связей. С учетом нелинейности функции активации и огромным
50
диапазоном настраиваемых коэффициентов можно получить нелинейное
отображение выходных сигналов во входных.
На рисунке 2.9 представлена структура нейронной сети с
обозначениями: r, e, u, y – входные воздействия на сеть, – связи
нейронов друг с другом, – выходные коэффициенты [10].
При реализации нейронной сети в качестве блока авто-настройки
можно получить структуру, показанную на рисунке 32, где обозначено:
– коэффициенты регулятора; r, e, u, y – входные сигналы; P – объект
управления; R – регулятор [10].
Рис. 32. Структура ПИД-регулятора с блоком авто-настройки на
основе нейронной сети
Комбинация нечеткой логики, теории адаптации и нейронной сети
приводит к структуре вида адаптивной сети нечеткого вывода (ANFIS),
структура которой представлена на рисунке 33 [12].
Рис. 33. Структура адаптивной сети нечеткого вывода
51
Система подобного вида осуществляет нечеткий логический вывод
на основе нечеткого регулятора, а функции принадлежности
подвергаются подстройке на основе алгоритмов обучения нейронной
сети.
Нечеткие нейроны типа ИЛИ:
(50)
Нечеткие нейроны типа И:
(51)
Подобные регуляторы встречаются нечасто, т.к. их структуры все
еще исследуются [12].
2.4. Анализ устойчивости систем с нечеткими регуляторами
Основной недостаток системы с нечетким регулированием – это
отсутствие универсальных методов проверки на устойчивость. Это
существенно снижает диапазон их практического применения. В
результате приходиться адаптировать уже существующие классические,
аналитические подходы, применимые к исследованию систем с
нелинейной структурой, а именно: первый и второй методы Ляпунова,
критерий Попова, метод гармонической линеаризации. Однако их
применение не может гарантировать то, что результат будет достоверным
[13].
Среди известных методов анализа устойчивости наиболее
надежным представляется теория гиперустойчивости, сформулированная
тем же В. М. Поповым:
Гиперустойчивость – это свойство системы, вектор состояния
которой удовлетворяет условию ограниченности, если значения входных
величин принадлежат некоторому заданному подмножеству всех
возможных значений этих величин. То есть если размерность вектора u