32
Так как в линейной подсистеме присутствует интеграл по скорости,
то расположение корней этой линейной подсистемы на корневой
плоскости будет как на рисунке 21:
Рис. 21. Расположение корней в линейной подсистеме G(s)
Теперь рассмотрим изменения степени пересечения выходной
функции принадлежности. В третьей строке таблицы показаны функции с
полным пересечением на входе и выходе, где результат почти линейно
зависим. Изменение выходных функций принадлежности таким образом,
чтобы они не пересекались, приведет к тому, что характеристика станет
похожа на ту, что представлена в третьей строке таблицы, по сравнению с
представленной в четвертой строке таблицы.
Поэтому можно предположить, что степень пересечения во входных
функциях принадлежности сильно влияет на статические характеристики
нечеткого регулятора. В то время как маленькие пересечения во входных
функциях принадлежности формируют пороговые (ступенчатые)
характеристики, большие пересечения делают кривую более гладкой.
Пересечения выходных функций принадлежности меньше влияют на
выходную характеристику регулятора. Как видно из приведенных
33
графиков, характеристика, а следовательно, и качество управления
зависит от используемой ФП и степени пересечений входных функций
принадлежности оснований в выходной функции принадлежности.
Существует достаточно большое количество подобных вариантов.
Поскольку отсутствуют универсальные рекомендации по выбору этих
пересечений, то актуальна задача их подбора для конкретных реализаций
НР.
Как видно из рисунка 1.21, корни вещественной части не являются
отрицательными ( ), что не удовлетворяет предварительному
условию PL3. Поэтому в систему введем фиктивные степени свободы
, для выполнения условия PL3, и , для доказательства
последующих условий гиперустойчивости. Эти степени будут включены
в цепи обратной связи блоков G(s) и F(s). Так же добавим фиктивные
соединения N = 0, чтобы матрицы обоих систем были квадратичными.
Получим систему вида:
Рис. 22. Усовершенствованная структурная схема нечеткой
системы и расположение корней этой системы
Для обеспечения выполнения условий примем значения фиктивных
степеней свободы равными:
34
С учетом этих степеней свободы и приведении матриц к
квадратному виду, остальные предварительные условия выполняются.
Посему будем считать линейную подсистему устойчивой и перейдем к
выполнению главного условия гиперустойчивости для нелинейной части.
Введенные степени свободы позволяют записать условие для
нелинейной части (1.21) в виде:
(21)
где - матрица входов нелинейного блока, - матрицы
выходов нелинейного блока. Их коэффициенты:
(22)
Так как N = 0, то функция примет вид:
(23)
где, на основании системы из рисунка 22, получим:
(24)
Коэффициенты z, de, e выбираются на основании пространства
работы правил нечеткого логического вывода нечеткого ПД-регулятора
(см. рисунок 18). Так как правила симметричны по отношению друг к
другу, то части правил, расположенных на положительной части, будет
достаточно для определения выполнения условия гиперустойчивости
[21]. Сведем значения переменных z, de, e и результаты вычислений в
таблицу 3.
Таблица 3
Оценка условия гиперустойчивости Попова
№ точки
e
de
z
I
1
10
1500
686
59657,6
2
9,2
-479
445
92102,06
3
7,5
-845
383
158115,8
4
6,7
-920
377
175132,4
35
5
5
-966
149
128760
6
3,7
-913
72
99925,78
7
2,5
-794
22
68211,98
8
1,2
-541
-18
27853,68
9
0
-26
-5
44,1
Согласно таблице 3, значение функции I в каждой точке больше
нуля, следовательно, эта система является устойчивой.
Выводы по главе
Как видно из графического сопоставления выходных зависимостей
нечеткого регулятора и регулятора с аппроксимирующей
характеристикой, названного нами АНФ-регулятором, можно установить
близость этих характеристик. Причем каждая аппроксимирующая
характеристика имеет аналитическое выражение, параметры которого
определяют ее форму. Изменяя эти параметры, можно получить
характеристику, наиболее близкую к выходной характеристике НР,
которая и будет прототипом синтезируемого нечеткого АНФ-регулятора.
В связи с использованием графического представления стратегии
управления была поставлена задача создания нечёткого АНФ-регулятора
с максимально простой структурой, который обеспечит необходимый вид
зависимости «выхода от входа – характеристики управления». Для
решения этой задачи в данной работе предлагается метод синтеза
нечетких регуляторов САУ динамическими объектами, в основе которого
использование аналитической зависимости управления от сигнала
рассогласования, полученной с помощью аппроксимирующих
преобразований нелинейных функций, доставляющей (обеспечивающей
в) системе желаемый режим функционирования при номинальных
параметрах объекта.
36
Глава 2. ПРОВЕДЕНИЕ ИССЛЕДОВАНИЙ РЕГУЛЯТОРА С
РАЗЛИЧНЫМИ ПАРАМЕТРАМИ
2.1. Теория нечетких множеств
Как и в современном мире, в математическом анализе нет строгого
распределения вещей на черное и белое, что дало повод для подробного
изучения теории множеств. Результатом стала статья Лотфи Заде,
профессора Калифорнийского Университета в Беркли, выпущенная в
журнале Information and Control в 1965 году, где эта двузначная оценка
была расширена до неограниченной многозначности (к примеру, больше
нуля и меньше единицы в диапазоне) и введено понятие “нечеткое
множество” [1].
На рисунке 23, где: a – представление функции принадлежности с
помощью концентрических линий; б – колоколообразная функция
принадлежности, показано графическое представление нечеткого
множества [2], в котором указаны обозначения следующих терминов:
Нечеткое множество А – это совокупность упорядоченных пар,
составленных из элементов x множества Х:
(25)
Функция – это характеристическая функция принадлежности,
принимающая свои значения в упорядоченном множестве
принадлежностей М, и указывающая, насколько x принадлежит
нечеткому множеству А. Если М = , то множество А рассматривается
как обычное, простое множество [3].
Из этого следует, что термин нечеткое множество связан с термином
множество. Это позволяет нам рассматривать нестрогие понятия при
использовании математических структур.
37
Рис. 23. Графическое представление нечеткого множества
Простейшие операции над нечеткими множествами:
1. Включение – А содержится в при условии:
(26)
2. Равенство – А равно при условии:
(27)
Если хоть один элемент из этих множеств не удовлетворяет это
равенство, то эта операция недействительна .
3. Дополнение – А дополняет при условии:
(28)
4. Пересечение – А и В пересекают друг друга при
условии:
(29)
Эта операция читается как нечеткая конъюнкция (операция И).
5. Объединение – А и В объединяют друг друга при
условии:
(30)
Эта операция читается как нечеткая дизъюнкция (операция ИЛИ).
6. Разность – – Определяется соотношением:
(31)
7. Отрицание – Определяется выражением .
38
Рис. 24. Графическое описание простейших операций
Графическое представление некоторых операций показаны рисунке
24 [2], где показано: а) операция включение; б) операция дополнение; в)
операция пересечение; г) операция объединение.
Этого количества операций достаточно для данной работы [2].
2.2. Нечеткий логический вывод, нечеткое управление
В булевой алгебре логический вывод строится на следующих
тавтологиях:
• Модус Поненс: ;
• Модус Толленс: ;
• Силлогизм: ;
• Контрапозиция: ;
Наиболее часто используют Модус Поненс и трактуется как “В есть
истинно”, если “А есть истинно” и существует правило “Если А, то В” [4].
В нечеткой логике главным инструментом является так называемое
композиционное правило вывода, предложенная Лотфи Заде, которое
можно описать следующим образом: “Даны два универсальных
39
множества U и V, у которых есть базовые переменные u, (u,v) и v
соответственно. Зададим этим переменным некоторые ограничения R(u),
R(u, v) и R(v), представляющие собой нечеткие отношения в U, UxV и V.
У множеств U, UxV и V есть нечеткие подмножества A и F. В таком случае
композиционное правило вывода будет утверждать, что решение
уравнений:
(32)
(33)
имеет вид:
(34)
где A•F – композиция A и F” [5].
Эта самое подробное и точное описание нечеткого логического
вывода на текущий момент.
Таким образом сформулируем следующие определения:
Лингвистическая переменная – это переменная, значения которой
составляют фразы или предложения из естественного языка.
Нечеткий логический вывод – это процесс аппроксимации
зависимостей всех выходных лингвистических переменных от входных
лингвистических переменных, и формирование от этого нечеткого
множества, соответствующего текущим значениям входов, на основе
нечеткой базы знаний и операций [5].
Согласно рисунку 25, модуль нечеткого управления состоит из
блоков, реализующий следующие процедуры:
Фаззификация – это процесс преобразования входной
лингвистической переменной в нечеткое множество, соответствующее
определенному значению функции принадлежности.
40
Рис. 25. Структура простейшего модуля нечеткого управления.
Машина нечеткого вывода – это устройство, которое выполняет
операции над нечетким множеством на основе заложенных в него базе
правил, после чего происходит формирование нечеткого логического
вывода.
Дефаззификация – процесс, обратный фаззификации, т.е.
преобразования нечеткого множества в четкую переменную [6]. Ниже
представлены наиболее известные способы дефаззификации:
• По среднему центру
Пусть имеется N нечетких множеств A:
(35)
Где – точка, в которой функция принадлежности нечеткого
множества А максимальна:
(36)
• По сумме центров
Пусть имеется N нечетких множеств А:
(37)
41
• Метод центра тяжести
Пусть имеется итоговое нечеткое множество А:
(38)
• Метод максимума
Пусть имеется итоговое нечеткое множество А:
(39)
Четкое значение выбирается произвольно среди множества
элементов, доставляющих максимум .
На сегодняшний день известны следующие алгоритмы, которые
реализуют нечеткое управление:
• Алгоритм Мамдани:
Процесс фаззификации осуществляется через композиционное
правило Л. Заде. Нечеткий вывод строится по следующему принципу –
сперва происходит пересечение пар нечетких множеств согласно
формуле (5):
(40)
(41)
потом находят “усеченные” функции принадлежности
согласно формуле (5):
(42)
(43)
затем эти функции принадлежности объединяют с
остальными результатами согласно формуле (6):
(44)
Процесс дефаззификации происходит по среднему центру.