16
тов, остаток же будет азеотропным. Разделение таких смесей — трудоемкая
задача, для ее решения используют специальные методы [4].
Ректификация многокомпонентных смесей
Многокомпонентные смеси встречаются на практике значительно чаще би-
нарных, поэтому задача их разделения является особенно важной. Для разделе-
ния таких смесей применяются каскады из колонн бинарной ректификации. При
этом на каждой колонне смесь уподобляется бинарной, состоящей из двух так
называемых ключевых компонентов. Ключевыми называются соседние (если
упорядочить все компоненты по возрастанию температур кипения) компонен-
ты, а исходная смесь представляется состоящей из верхнего ключевого компо-
нента и всех более низкокипящих и нижнего ключевого компонента со всеми
высококипящими [2].
Очевидно, что при полном разделении на каждой колонне можно либо от-
делить один, наиболее низко- или высококипящий компонент, либо разделить
смесь в определенной точке на две более простые смеси. При этом количество
возможных схем деления смеси из N компонентов на чистые компоненты будет
составлять
[2(N−1)]!
N!(N−1)!
[2]. Выбор конкретной схемы определяется соображениями
эффективности.
При разделении многокомпонентных смесей могут образовываться много-
компонентные азеотропы, что также затрудняет ректификацию подобных сме-
сей [5, 6].
Эффективность процессов ректификации
В химической, нефтехимической и пищевой технологиях большинство про-
цессов разделения жидких смесей — это процессы ректификации. Важнейшим
примером может служить разделение нефти, состоящей из сотен индивидуаль-
ных компонентов на несколько продуктов, фракций, содержащих компоненты с
17
близкой температурой кипения. Значение нефтепродуктов в современном ми-
ре сложно переоценить, однако на процесс ректификации нефти затрачивается
огромное количество теплоты, около шести процентов из всей, потребляемой в
промышленности. В пищевом и других производствах важным процессом явля-
ется разделение смеси спиртов и воды, что также достаточно энергозатратно. В
связи с этим встает вопрос об увеличении эффективности процессов ректифи-
кации.
В ректификационной колонне, как и в любой термодинамической систе-
ме, происходит производство энтропии. Анализ прироста энтропии позволяет
судить об оптимальности и реализуемости конкретной организации процесса
ректификации. Постановка оптимизационной задачи, имеющей целью миними-
зировать рост энтропии в колонне, дает возможность проектировать аппараты,
работающие в оптимальном или близком к оптимальному режиме, и экономить
значительную часть теплоты, расходующейся на разделение [7, 8].
Задачам оптимальной организации процесса ректификации посвящено огром-
ное число исследований (см. [2, 3, 9–12] и др.). При этом (см. [3], стр.540) ме-
тоды расчета «базируются на диаграммах фазового равновесия и материальном
балансе процесса ректификации, но совершенно игнорируют его кинетику и
гидродинамическую обстановку в аппаратах. Для восполнения этого пробела
введены коэффициенты полезного действия, которые не поддаются точному
теоретическому определению, а могут быть приближенно вычислены по эмпи-
рическим формулам или заимствованы из практики».
Очень важным при расчете колонны, как это показано далее, является учет
необратимости процесса теплообмена при подаче теплоты в куб и отборе ее в
дефлегматоре.
Для выбора последовательности разделения многокомпонентных смесей ис-
пользуют без какого бы то ни было обоснования эвристические правила (см. [2]
стр. 289), например: «В первую очередь надо отделять самый легколетучий
компонент» или «В первую очередь надо отделять компонент с наибольшей
18
концентрацией». Ясно, что эти правила могут противоречить друг другу.
Затраты энергии на разделения зависят от температур кипения компонен-
тов, составов потоков на входе и на выходе процесса. Эти составы определят
обратимую изотермическую работу разделения, которая не зависит от того, в
каком порядке разделяют смесь. Таким образом при учете только обратимых
факторов порядок разделения определен температурами кипения компонентов.
Учет необратимости позволяет оценить влияние порядка разделения как на за-
траты теплоты при теплообмене, так и на потери теплоты в процессе массопе-
реноса и выбрать последовательность разделения, соответствующий минимуму
суммарных затрат теплоты в каскаде колонн.
В [13, 14] учет необратимости процесса сделан через кинетику тепло- и мас-
сообмена, что позволяет проследить влияние кинетических факторов на пре-
дельные возможности колонны (производительность, расход теплоты), найти
оценку неизбежных необратимых затрат энергии и организовать процесс раз-
деления так, чтобы эти затраты были возможно меньше. Однако в этих работах
необратимость массопереноса учитывалась в алгоритмической форме, что не
позволяло в явном виде представить зависимость предельной производитель-
ности от расхода теплоты и кинетических факторов. Ниже такая зависимость
получена и показано, что на ее базе может быть предложен алгоритм для выбора
последовательности разделения трехкомпонентных смесей.
В работах [15, 16] рассмотрено несколько подходов к решению задачи ми-
нимизации производства энтропии. Два из них — численные методы опти-
мизации, один из которых детерминированный (метод Пауэлла [параллельных
касательных]), а второй — стохастический (метод Монте-Карло). Первый из
представленных в вышеуказанных работах аналитических методов основывает-
ся на описании системы с помощью формализмов оптимизационной термоди-
намики с последующей постановкой и решением задачи Лагранжа. Второй из
аналитических методов основывается на геометрическом подходе к термодина-
мическим проблемам с введением понятия термодинамического расстояния.
19
Однако авторы не рассматривают кинетику тепло- и массообмена в колоннах.
Нет также однозначной связи термодинамического расстояния с затратами теп-
лоты на единицу разделяемого потока.
Механическое разделение
Часто на практике возникает необходимость разделения неоднородных сме-
сей, компоненты которых находятся в разных агрегатных состояниях, причем
одни из них представлены в виде мелких частиц. В зависимости от агрегат-
ного состояния компонентов неоднородные смеси могут быть суспензиями
(жидкость–твердые частицы), эмульсиями (смесь взаимно-нерастворимых жид-
костей), газовзвесями (газ–твердые частицы) и золями (газ–жидкость). Мелкие
частицы образуют дисперсную фазу смеси, а среда, в которой они содержатся
— сплошную или дисперсионную [3].
Разделение таких смесей производится методами, основанными либо на раз-
нице плотностей различных фаз (осаждение), либо на задержании одного из
компонентов пористой перегородкой, мембраной (фильтрование). Газовзвеси
и золи также могут разделять в электрическом либо магнитном поле.
Гравитационное осаждение
В суспензиях и газовзвесях дисперсная фаза обычно имеет более высокую
плотность чем сплошная, в связи с чем становится целесообразно применять
гравитационную силу для разделения таких смесей. Движущая сила массопе-
реноса в данном случае пропорциональная разнице плотностей фаз. Процесс
гравитационного осаждения производится в аппаратах, называемых отстойни-
ками. Отстойники бывают как периодического, так и непрерывного, и полуне-
прерывного действия [3].
20
Осаждение в поле центробежной силы
Центрифуги
Скорость гравитационного разделения суспензий падает по мере уменьше-
ния размера частиц и разности плотностей фаз, а также с ростом вязкости
жидкой среды. Увеличение скорости разделения возможно в поле действия
центробежной силы. Разделяемую суспензию помещают внутрь барабана, вра-
щающегося вокруг своей оси с большой угловой скоростью, суспензия получает
практически такую же угловую скорость. При этом твердые частицы находятся
под влиянием не только гравитационной, но и центробежной силы. На практике
обычно центробежная сила настолько больше гравитационной, что последней
можно пренебречь. Подобный процесс называется центрифугированием, а ап-
параты для его проведения — центрифугами [3].
Циклоны и гидроциклоны
Разделение суспензий и нестойких эмульсий возможно не только во вращаю-
щихся барабанах центрифуг, но и путем придания самим смесям вращательного
движения в неподвижных аппаратах. Такие аппараты называются гидроцикло-
нами и обычно имеют коническую форму. Разделяемая суспензия, войдя в гид-
роциклон с большой скоростью, приобретает вращательное движение и по мере
перемещения вниз крупные твердые частицы концентрируются вблизи внутрен-
ней поверхности конуса.
Аппараты похожей конструкции, предназначенные для разделения в поле
центробежной силы газовзвесей (так называемого обеспыливания газов), назы-
ваются циклонами [3].
21
Осаждение в электрическом поле
Скорость осаждения очень мелких частиц чрезвычайно мала как в поле
действия гравитационной, так и центробежной силы. По этой причине тонко-
дисперсные суспензии и газовзвеси вышерассмотренными методами разделить
почти невозможно. Разделение таких смесей возможно, однако, в электрическом
поле [3].
Фильтрование.
Фильтрование — это процесс разделения суспензий и газовзвесей при по-
мощи пористых перегородок, задерживающих частицы дисперсной фазы, но
пропускающих сплошную фазу. Осевший на перегородке слой твердых частиц
с небольшим содержанием жидкости называют осадком, а прошедшую дальше
жидкость — фильтратом. Одним из основных достоинств процесса фильтро-
вания по сравнению с осаждением является возможность полного удаления
твердых частиц из сплошной фазы [3].
1.3 Задачи оптимизации в технике и экономике
В процессе проектирования ставится обычно задача определения наилуч-
ших, в некотором смысле (в контексте данной работы — экономическом),
структуры или значений параметров объектов. Такая задача называется опти-
мизационной. Если оптимизация связана с расчетом оптимальных значений па-
раметров при заданной структуре объекта, то она называется параметрической
оптимизацией. Задача выбора оптимальной структуры является структурной
оптимизацией.
Стандартная математическая задача оптимизации формулируется таким об-
разом. Среди элементов x, образующих множество X, найти такой элемент x
∗
,
который доставляет минимальное или максимальное значение f(x
∗
) заданной
22
функции f(x). Таким образом, для того, чтобы корректно поставить задачу
оптимизации необходимо задать как минимум:
- Допустимое множество X
- Целевую функцию f(x)
- Критерий поиска (max или min)
23
ГЛАВА 2
Математическое моделирование разделения смесей
2.1 Математические модели процессов разделения смесей
Область реализуемости колонны бинарной ректификации
В этой и последующих главах будет предполагаться, что объектом разделе-
ния является зеотропная смесь близкая к идеальному раствору (для нее выпол-
няется первый закон Рауля о том, что парциальное давление насыщенного пара
компонента раствора прямо пропорционально его мольной доле в растворе, при-
чём коэффициент пропорциональности равен давлению насыщенного пара над
чистым компонентом) [17]. В случае бинарной ректификации смесь состоит из
двух компонентов с условными номерами 0 и 1, называемыми, соответственно,
низкокипящим и высококипящим. Компоненты обладают следующими техно-
логическими параметрами: концентрация x
i
, температура кипения T
i
, мольная
теплота парообразования r
i
. Технологические параметры каждого компонен-
та имеют соответствующий индекс. Из физического смысла величин следуют
условия:
x
0
+ x
1
= 1,
T
0
< T
1
,
Колонна бинарной ректификации, являющаяся элементарным аппаратом в
системе разделения смесей, во всех рассматриваемых случаях представляется
моделью с тремя основными параметрами, характеризующими кинетику про-
цессов тепло и массопереноса: коэффициентами теплопереноса в кубе β
B
, в
дефлегматоре β
D
и эффективным коэффициентом массопереноса k.
В задаче рассматривается модель насадочной колонны бинарной ректифи-
кации, в которой учтены два основных источника необратимости: теплообмен
при подаче тепла в куб и при его отборе из дефлегматора и массоперенос меж-
24
ду паром и флегмой по высоте колонны. К этой модели близка и тарельчатая
колонна при достаточно большом числе тарелок. Отметим, что эффективный
коэффициент массопереноса, если его находят по данным действующей ко-
лонны, косвенно учитывает внутреннюю диффузию, смешение на тарелках и
пр. Коэффициенты теплопереноса связаны с размерами теплообменников в ку-
бе и дефлегматоре. Эффективный коэффициент массопереноса для каждого
конкретного случая может быть вычислен по данным измерений на реальной
колонне.
При рассмотрении процесса ректификации сделаны следующие основные
допущения:
а) Массообмен эквимолярный;
б) В каждом сечении по высоте колонны давления и температуры потоков
пара и жидкости близки друг к другу (от сечения к сечению они изменя-
ются);
в) Эффекты диффузии между соседними сечениями пренебрежимо малы;
г) Теплота выходящих потоков передается потокам, поступающим в колон-
ну, причем необратимостью этого теплообмена можно пренебречь;
д) Поток разделяемой смеси в форме жидкости подается при температуре
кипения в то сечение колонны, состав флегмы в котором совпадает с
составом этого потока.
Доля отбора в дефлегматоре ε зависит от составов входного и выходных
потоков. Из материального баланса по низкокипящему получим
ε =
x
F
− x
B
x
D
− x
B
. (2.1)
Если предположить, что жидкая фаза близка по своим свойствам к иде-
альным растворам, а паровая — к идеальным газам, то в условиях равновесия
концентрации низкокипящего компонента в паре и в растворе связаны друг с
25
другом соотношением (см. [9])
y
0
(x) =
αx
1 + (α − 1)x
, (2.2)
где y — концентрация низкокипящего компонента в паре, α =
P
0
1
(T )
P
0
2
(T )
> 1 —
коэффициент относительной летучести, P
0
i
— давление насыщенного пара над
чистым i-м компонентом (i=1 для низкокипящего).
Мы не будем ниже останавливаться на особенностях разделения азеотроп-
ных смесей, но отметим, что для моноазеотропных смесей предложенный ниже
подход может быть использован, если в качестве квазикомпонента фигурирует
смесь с составом, соответствующим азеотропной точке.
Связь характеристических параметров с составами потоков и
кинетическими коэффициентами
Допущения, упрощающие расчет и расширяющие применимость результа-
тов, сделаны так, чтобы каждое из них не увеличивало необратимость процессов.
Только в этом случае можно утверждать, что показатели реальной колонны не
превосходят найденных. Полученные таким образом оценки гораздо ближе к
истине, чем те, что построены на базе обратимых процессов. Кроме того, такой
показатель, как предел производительности колонны с заданными коэффици-
ентами тепло и массопереноса с использованием обратимых оценок получить
вообще нельзя.
В этом разделе мы запишем соотношения, определяющие множество допу-
стимых режимов ректификации бинарной смеси, и покажем, что границу этой
области можно параметризовать квадратичной функцией. Приведем связь коэф-
фициентов параметризации (характеристических коэффициентов) с составом
смеси и кинетическими константами.