46
ненту с минимальным значением X
i
.
Будем называть ее минимальной приведенной концентрацией разделения
бинарной смеси и обозначать как X
∗
2
. Случай, когда одну из компонент отделить
сложно, соответствует, близкому к нулю значению δ, а значит сколь угодно
большой приведенной концентрации.
Удельный коэффициент массопереноса при разделении многокомпонентной
смеси по границе между ν-ой и (ν − 1)-ой компонентой обозначим как δ
ν−
, а
между ν-ой и (ν + 1)-ой, как δ
ν+
. Пусть смесь разделяют на два потока, первый
из которых содержит компоненты с номерами от i = 1 до i = ν, а второй от
i = ν + 1 до i = n. Так как процесс массопереноса определяется свойствами
ключевого компонента, то можно ввести приведенные концентрации потоков
X
1ν
=
P
ν
i=1
x
i0
√
δ
ν+
, X
νn
=
P
n
i=ν+1
x
i0
p
δ
(ν+1)−
. (2.55)
Если состав потоков фиксирован и их дальнейшее разделение не преду-
смотрено, то в качестве отделяемого целесообразно выбрать поток, у которого
приведенная концентрация меньше, при этом необратимые потери мощности
имеют вид (2.54) с той разницей, что вместо приведенной концентрации компо-
ненты в этом выражении фигурирует приведенная концентрация потока.
Смеси из трех компонентов. Выбор границы разделения.
Случай смеси из трех компонент позволяет проследить, как влияет на необ-
ратимые затраты мощности порядок разделения, кроме того для многокомпо-
нентных смесей часто требуется выделение одной промежуточной по своим
физическим свойствам компоненты, что с учетом допущения о ключевых ком-
понентах сводит задачу выделения к разделению трехкомпонентной смеси.
При разделении смеси в две и большее число стадий возникает задача рас-
пределения эффективной поверхности контакта S между стадиями. Естествен-
но распределять ее так, чтобы минимизировать суммарные необратимые потери.
47
Формально эта задача примет вид
∆p = T g
2
0
X
2
1
S
1
+
X
2
2
S
2
⇒ min /S
1
+ S
2
= S. (2.56)
Искомыми переменными являются S
1
и S
2
, а X
1
и X
2
-приведенные концентра-
ции отделяемой компоненты (потока) на первой и второй стадии.
Решение задачи нелинейного программирования (2.56) приводит к соотно-
шениям для оптимальных поверхностей контакта и соответствующих им мини-
мальных необратимых затрат мощности
S
i
= S
X
i
P
j
X
j
, ∆p =
T g
2
0
S
(
X
j
X
j
)
2
= g
2
0
a, i, j = 1, 2. (2.57)
Таким образом, минимуму необратимых потерь соответствует минимум
суммы приведенных концентраций компонент (потоков), отделяемых на каж-
дой стадии.
Форма границы области реализуемости.
Если такой минимум найден, то условие (2.57) определяет форму границы
множества реализуемости механических систем разделения. Затраты мощности
не могут быть меньше суммы обратимой мощности разделения
p
0
= −Rg
0
T
n
X
i=1
x
i
ln x
i
= g
0
b (2.58)
и минимальных необратимых потерь
∆p =
T g
2
0
S
(
X
j
X
j
)
2
= g
2
0
a, i, j = 1, 2.
48
Так что минимальные затраты мощности связаны с производительностью пара-
болической зависимостью
p
∗
= bg
0
+ ag
2
0
, (2.59)
где
b = −RT
n
X
i=1
x
i
ln x
i
, (2.60)
a =
T
S
(
X
j
X
j
)
2
. (2.61)
Это граница области реализуемости второго типа по предложенной выше клас-
сификации.
2.2 Алгоритмы поиска оптимального порядка разделения
Получение правила температурных коэффициентов для выбора
границы разделения.
Ваше доказано, что КПД в режиме максимальной производительности
g
max
F
q
max
=
0, 5b не зависит от коэффициента необратимости и равен половине обратимого
КПД. Это означает, что оптимальный выбор границы разделения для режимов
с малой производительностью и для режимов с максимальной производитель-
ностью одинаков и не зависит от кинетики процессов обмена.
Из того, что обратимый КПД любой системы термического разделения зави-
сит не только от составов, но и от температур, следует, что порядок разделения
влияет на обратимые затраты теплоты. Значит для предварительных расчетов
можно использовать требование минимума обратимых затрат теплоты для вы-
бора порядка разделения. Конкретизируем методику такого выбора на примере
каскада колонн бинарной ректификации, хотя она справедлива и для других тер-
мических систем (абсорбционно-десорбционных циклов, адсорбции, десорбции
и пр.)
49
Выбор оптимального порядка разделения смеси в системе простых
колонн ректификации.
Обратимые затраты теплоты. Будем считать известным состав смеси,
поступающей на разделение, x
1
, x
2
, . . . , x
n
. При этом все компоненты упорядо-
чены так, что температура кипения T
i
i-го компонента меньше, чем температура
кипения T
i+1
.
Предполагаем, что каждая колонна имеет два отбора, верхний и нижний, а
граница разделения проходит между i-м и (i + 1)-м компонентами.
Воспользуемся концепцией «ключевых компонентов» (cм. [10]), согласно
которой основное влияние на процесс разделения оказывает различие свойств
граничных i-го и (i + 1)-го компонентов. Температура подвода тепла в куб T
B
близка к T
i+1
, а температура отвода из дефлегматора T
D
— к T
i
.
Разделение будем предполагать четким [4], то есть верхний отбор содержит
все компоненты, температуры кипения которых ниже или равны T
i
, а нижний
— все компоненты, с температурами кипения выше или равными T
i+1
.
Запишем для каждого отбора работу разделения, затрачиваемую на один
моль потока сырья:
A
νi
= −RT
i
i
X
k=ν
x
k
ln x
k
− γ
νi
ln γ
νi
!
= RT
i
S
νi
,
A
(i+1)µ
= −RT
i
µ
X
k=i+1
x
k
ln x
k
− γ
i+1,ν
ln γ
i+1,ν
!
= RT
i
S
(i+1)µ
, (2.62)
A
i
νµ
= −RT
i
µ
X
k=ν
x
k
ln x
k
− γ
νµ
ln γ
νµ
!
= −RT
i
S
µν
— мольные работы разделения потока, содержащего компоненты от ν до µ с гра-
ницей разделения между i-ым и (i + 1)-м компонентами и потоков, выходящих
из каскада.
Доли от потока сырья, содержащиеся в потоках, поступающем и выходящих
50
из колонны, обозначены как
γ
νµ
=
µ
X
k=ν
x
k
, γ
νi
=
i
X
k=ν
x
k
, γ
(i+1)µ
=
µ
X
k=i+1
x
k
.
Энтропии смешения соответствующих потоков с учетом их доли в потоке сырья,
выраженные через концентрации компонентов в исходной смеси, запишутся как
S
νµ
= −
µ
X
k=ν
x
k
ln x
k
+ γ
µ,ν
ln γ
µ,ν
, S
νi
= −
i
X
k=ν
x
k
ln x
k
+ γ
νi
ln γ
νi
,
S
(i+1)µ
= −
µ
X
k=(i+1)
x
k
ln x
k
+ γ
(i+1)µ
ln γ
(i+1)µ
.
Обратимые затраты теплоты в колонне, отнесенные к одному молю потока
сырья, примут форму:
q
i
νµ
=
RT
i+1
T
i
T
i+1
− T
i
h
S
µν
− S
νi
− S
(i+1)µ
i
= (2.63)
=
RT
i+1
T
i
T
i+1
− T
i
h
γ
µν
ln γ
µν
− γ
νi
ln γ
νi
− γ
(i+1)µ
ln γ
(i+1)µ
i
.
Выражение, зависящее от температур кипения компонентов на границе раз-
деления и стоящее перед квадратной скобкой, назовем температурным коэф-
фициентом
K
i
=
T
i+1
T
i
T
i+1
− T
i
. (2.64)
Чем больше температурный коэффициент, тем больше удельные обратимые
затраты теплоты.
51
Оптимальный выбор границы теплового разделения
трехкомпонентной смеси.
Пусть известен состав смеси, поступающей на разделение: x
1
, x
2
, x
3
= 1 −
x
2
− x
1
— мольные доли компонентов. Запишем в соответствии с (2.63) сум-
марные затраты теплоты при прямом и обратном порядке разделения:
q
1
= q
11
+ q
12
= −
RT
1
T
2
T
2
− T
1
h
x
1
ln x
1
+ (x
2
+ x
3
) ln(x
2
+ x
3
)
i
− (2.65)
−
RT
2
T
3
T
3
− T
2
h
x
2
ln x
2
+ x
3
ln x
3
− (x
2
+ x
3
) ln(x
2
+ x
3
)
i
,
q
2
= q
21
+ q
22
= −
RT
2
T
3
T
3
− T
2
h
x
3
ln x
3
+ (x
2
+ x
1
) ln(x
2
+ x
1
)
i
− (2.66)
−
RT
1
T
2
T
2
− T
1
h
x
2
ln x
2
+ x
1
ln x
1
− (x
2
+ x
1
) ln(x
2
+ x
1
)
i
.
Знак разности ∆
12
= q
1
−q
2
определяет порядок разделения. Если ∆
12
< 0,
то суммарные затраты теплоты меньше при прямом порядке разделения, если
разность положительна, то выгоднее обратный порядок.
После несложных выкладок ∆
12
примет форму:
∆
12
= q
1
− q
2
= R
T
1
T
2
T
2
− T
1
−
T
2
T
3
T
3
− T
2
F
12
(x) = R(K
1
− K
2
)F
12
(x), (2.67)
где
F
12
(x) = [x
2
ln x
2
− (1 − x
1
) ln(1 − x
1
) − (1 − x
3
) ln(1 − x
3
)] .
С учетом того, что x
2
= 1 −(x
1
+ x
3
), функция F
12
(x
1
, x
3
) равна нулю в вер-
шинах и вдоль осей координат плоскости x
1
x
3
концентрационного симплекса,
ограниченного неравенствами x
1
≥ 0, x
3
≥ 0, (x
1
+ x
3
) ≤ 1. Внутри симплек-
са эта функция всегда положительна и для любого значения x
2
максимальна
на прямой x
1
= x
3
= 0.5(1 − x
2
). Так что порядок разделения определяется
только знаком первого сомножителя в (2.67), равном разнице температурных
52
коэффициентов. Прямой порядок предпочтительнее если K
1
< K
2
. Если это
неравенство имеет противоположный знак, то выгоднее обратный порядок раз-
деления. Каждый из температурных коэффициентов подсчитывают при том
давлении, которое устанавливают в колонне.
Аналогично может быть рассмотрена задача о порядке разделения в каскаде
из двух колонн, предназначенном для выделения одного или группы компонен-
тов, с промежуточными температурами кипения. Пусть самая низкая темпера-
тура кипения промежуточного целевого отбора равна T
i
, а самая высокая — T
j
.
Порядок разделения определяется так же как для смеси из трех компонентов.
Только вместо концентраций фигурируют доли соответствующих отборов. При
этом поток, содержащий несколько веществ, рассматривается как компонент,
доля которого равна суммарной концентрации содержащихся в нем веществ, а
температура кипения равна температуре кипения компонента, находящегося на
границе разделения. Так что средний компонент при прямом порядке разделе-
ния в первой колонне имеет температуру T
i
, а во второй — T
j
, а при обратном
– наоборот. Прямой порядок разделения, когда на первой колонне каскада це-
лесообразно отделять компоненты с температурами кипения меньшими или
равными T
i
, а на второй с температурами от T
i+1
до T
j
предпочтительнее, если
выполнено неравенство
K
i
< K
j
⇒
T
i
T
i+1
T
i+1
− T
i
<
T
j
T
j+1
T
j+1
− T
j
. (2.68)
При разделении квазитрехкомпонентной смеси по границе между компонен-
тами с номерами i–i + 1 и j–j + 1 обратимая оценка суммарных затрат теплоты
при заданной производительности g составит:
q
I
=
gT
i+1
(
i
P
ν=1
x
ν
ln
i
P
ν=1
x
ν
+
n
P
ν=i+1
x
ν
ln
n
P
ν=i+1
x
ν
)
T
i+1
−T
i
+
+
n
P
ν=i+1
x
ν
gT
j+1
(
j
P
ν=i+1
x
ν
ln
j
P
ν=i+1
x
ν
+
n
P
ν=j+1
x
ν
ln
n
P
ν=j+1
x
ν
)
T
j+1
−T
j
(2.69)
53
для прямого порядка разделения и
q
II
=
gT
j+1
(
j
P
ν=1
x
ν
ln
j
P
ν=1
x
ν
+
n
P
ν=j+1
x
ν
ln
n
P
ν=j+1
x
ν
)
T
j+1
−T
j
+
+
i
P
ν=1
x
ν
gT
i+1
(
i
P
ν=1
x
ν
ln
i
P
ν=1
x
ν
+
j
P
ν=i+1
x
ν
ln
j
P
ν=i+1
x
ν
)
T
i+1
−T
i
(2.70)
для обратного.
Правило неубывания температурных коэффициентов
Условие (2.68) представляет собой условие оптимальности задачи о выборе
границы разделения. Сравнение двух возможных границ разделения приводит
к простому правилу для выбора последовательности разделения многокомпо-
нентной смеси в термических системах: Чтобы обратимые затраты энергии
на разделение многокомпонетной смеси в каскаде бинарных систем термиче-
ского разделения были минимальны, температурные коэффициенты должны
монотонно возрастать от первой к последующим ступеням каскада. Это пра-
вило не требует привлечения процедуры динамического программирования и
преодоления связанных с ней вычислительных трудностей. Оно коррелирует с
часто используемыми эмпириками, но делает их применение ненужным.
Каждая из возможных границ разделения определяет давление в колонне и
зависящие от него температуры подвода и отвода теплоты, а значит и темпе-
ратурный коэффициент. В первую очередь нужно разделять смесь по границе,
которой соответствует минимальный температурный коэффициент.
Со смещением границы разделения в сторону высококипящих компонентов
температурный коэффициент как правило возрастает (числитель растет пропор-
ционально квадрату, а знаменатель — первой степени температуры). Поэтому
в большинстве случаев, но не всегда, эвристическое правило о том, что надо
отделять низкокипящие (см. [11]), справедливо. Это соответствует и результа-
там численного эксперимента, проделанного в [4], когда лишь в двух случаях
54
из двенадцати прямой порядок разделения не оказался лучшим.
В самом грубом приближении учесть влияние потерь от необратимости в тер-
мических системах можно, исходя из того, что они пропорциональны квадрату
потока смеси. Сумма квадратов выходных потоков для каждой колонны при
заданном суммарном потоке на ее входе минимальна, когда эти потоки близки
друг к другу. Поэтому наилучшая с точки зрения необратимых затрат граница
разделения должна быть такова, чтобы потоки отборов в каждой колонне были
приблизительно одинаковы.
Сформулированное выше правило выбора границы разделения можно допол-
нить так: Если температурные коэффициенты для двух вариантов разделения
совпадают или мало отличаются друг от друга, предпочтительнее тот, для
которого весовые доли отборов ближе друг к другу.
Выбор границ разделения для установки газофракционирования
В качестве примера рассмотрим типовую газофракционирующую установ-
ку нефтеперерабатывающего завода, предназначенную для разделения смеси
углеводородов на четыре фракции:
а) Сероводород, углекислый газ, метан, этан и пропан.
б) Изобутан.
в) Бутан.
г) Пентан и гексан.
Давление в колоннах поддерживают на таком уровне, чтобы температура
отбора теплоты в дефлегматоре составляла 324 К. Так что P
i
— избыточное
давление в колонне в МПа, при котором температура кипения i-го компонента
равна 324 К. Соответствующие температуры T
i
таковы:
T
1
= 323 K,
T
2
= 341 K,
55
T
3
= 389 K,
T
4
= 424 K.
Согласно правилу температурных коэффициентов в первой колонне нужно
отделять легкую фракцию; во второй — отделять от потока оставшихся трех
продуктов пентан и гексан, наконец в третьей — разделять бутан и изобутан.
Именно такой порядок и используют как правило на нефтеперерабатывающих
заводах.
Температурные коэффициенты при выбранном порядке разделения соста-
вили:
K
1
=
323 · 424
101
= 1356, K
2
=
323 · 389
66
= 1904, K
3
=
323 · 341
18
= 6119.
Алгоритмы расчета оптимального порядка разделения.
Для расчета максимальной производительности каскада колонн бинарной
ректификации и поиска соответствующего порядка разделения используется
алгоритм частичного перебора с возвратом. В качестве критерия отсечения
ветви используется сравнение значений производительности колонн на текущей
и потенциальной следующей стадии, поскольку производительность колонны на
текущей стадии является ограничивающим фактором.
Пример: разделение смеси жирных кислот кокосового масла.
В качестве примера применения правила температурных коэффициентов
рассмотрим пример разделения четырехкомпонетной смеси жирных кислот из
кокосового масла.
Исходная смесь состоит из следующих фракций (в порядке возрастания
температуры кипения):
а) Кислоты C
6
–C
10
, T
1
= 542 K.