36
q
2
= 2675 кВт.
Известно, что мольная доля низкокипящего квазикомпонента в сырье со-
ставляет
x
F
= 0, 0674,
а его удельная теплота парообразования
r = 828 кДж/кг.
Решая систему из двух линейных уравнений вид (2.30) получим:
a =
4, 07 · 10
6
· 23, 6 − 2, 675 · 10
6
· 29, 4
2, 675 · 10
6
· 4, 07 · 10
6
(4, 07 · 10
6
− 2, 675 · 10
6
)
= 1, 15 · 10
−12
кг · c
Дж
2
,
b =
29, 4
4, 07 · 10
6
+ 1, 15 · 10
−12
· 4, 07 · 10
6
= 1, 19 · 10
−5
кг
Дж
.
Максимальная производительность и максимальные затраты теплоты по
формулам (2.33) и (2.34) равны
g
max
F
= 30, 9 кг/с,
q
0
= 5193 кВт.
КПД, соответствующий режиму максимальной производительности
η
max
=
b
2
= 5, 95 · 10
−6
кг/Дж,
а соответствующее флегмовое число
R
∗
=
2
1, 15 · 10
−6
· 0, 0674 · 8, 28 · 10
5
− 1 = 2, 01.
37
Многокомпонентная ректификация.
Задачи проектирования каскада можно решать с использованием характери-
стических параметров, найдя предварительно их значения по формулам (2.31),
(2.32). Эти значения уточняют по результатам измерений на действующей ко-
лонне (см. ниже).
Процесс ректификации является очень энергоемким, поэтому естественно
выбирать последовательность разделения по условию минимума затрат теплоты
при заданной производительности и составах потоков. Далее для упрощения
записи мы будем предполагать четкое разделение в каждой колонне.
Рассматривая кинетику массопереноса для смесей из нескольких компонен-
тов, нужно, вообще говоря, учесть влияние каждого из компонентов на поток
массопереноса из жидкости в пар и обратно для остальных (см. [11]). Такое
взаимное влияние вытекает и из уравнений Онсагера, в которых поток каждого
компонента является линейной комбинацией движущих сил для всех компонен-
тов смеси. Однако наибольшее влияние на кинетику массопереноса и наиболь-
ший вклад в производство энтропии оказывает разница физических свойств
наиболее трудно разделяемых компонентов с минимальной относительной ле-
тучестью. Такие компоненты в [10], [3] и др. названы ключевыми. Допущение о
ключевых компонентах позволяет свести задачу разделения многокомпонент-
ной смеси к задаче разделения бинарной, в которой роль низкокипящего играет
смесь тех компонентов, температуры кипения которых ниже или равны темпе-
ратуре кипения низкокипящего ключевого компонента, а роль высококипящего
– смесь всех остальных.
Пусть компоненты смеси упорядоченны так, что температура кипения для
компонента с концентрацией x
2
самая высокая. Введем обозначения для ха-
рактеристических коэффициентов каждой из колонн при каждом из порядков
разделения:
- Прямого, когда в первой колонне отделяют нулевой компонент, а во вто-
38
рой разделяют первый и второй. Соответствующие этому случаю харак-
теристические коэффициенты в параметрическом представлении каждой
колонны будем снабжать индексом 1. Например, b
11
— обратимый КПД
при прямом порядке разделения для первой колонны.
- Обратного, когда на первой ступени отделяют второй компонент, а остав-
шуюся смесь делят во второй колонне. Соответственно b
21
— обратимый
КПД при обратном порядке разделения для первой колонны. На первом
этапе нужно найти значения a
ij
, b
ij
, i = 1, 2; j = 1, 2 по формулам (2.31),
(2.32). Конкретизируем эти выражения с учетом того, что для четкого раз-
деления они несколько упрощаются.
Рассмотрим исходную смесь с концентрациями веществ x
0
, x
1
, x
2
, где x
0
—
концентрация низкокипящего, а x
2
— высококипящего. Пусть известны относи-
тельные летучести α
01
и α
12
, а также мольные теплоты парообразования низко-
кипящего r
0
и среднекипящего r
1
. Мольная теплота парообразования смеси из
низкокипящего и среднекипящего будет определяться как среднее взвешенное
r
01
= (r
0
x
0
+ r
1
x
1
)/(x
0
+ x
1
). Соответствующие температуры кипения веществ
смеси, выраженные в градусах Кельвина, будем обозначать как T
0
, T
1
и T
2
.
В случае прямого порядка разделения, когда сначала отделяют низкокипя-
щий компонент, каскад колонн характеризуется следующими параметрами:
- Коэффициент массопереноса для первой колонны k
11
;
- Коэффициент массопереноса для второй колонны k
12
;
- Коэффициенты теплопереноса для первой колонны, в кубе и дефлегмато-
ре, соответственно β
B
11
, β
D
11
;
- Коэффициенты теплопереноса для второй колонны β
B
12
, β
D
12
;
Выражения для характеристических параметров для первой колонны зави-
сит от свойств смеси и кинетических коэффициентов как:
b
11
= −
T
1
− T
0
RT
0
T
1
[x
0
ln x
0
+ (1 − x
0
) ln (1 − x
0
)]
, (2.36)
39
a
11
= −
1
β
B
11
T
2
1
+
1
β
D
11
T
2
0
+
2
k
11
r
2
0
1
R [x
0
ln x
0
+ (1 − x
0
) ln (1 − x
0
)]
. (2.37)
Для второй колонны:
b
12
= −
T
2
− T
1
RT
1
T
2
(
x
1
1−x
0
ln
x
1
1−x
0
+
x
2
1−x
0
ln
x
2
1−x
0
)
, (2.38)
a
12
= −
1
β
B
12
T
2
2
+
1
β
D
12
T
2
1
+
2
k
12
r
2
1
1
R(
x
1
1−x
0
ln
x
1
1−x
0
+
x
2
1−x
0
ln
x
2
1−x
0
)
. (2.39)
Для обратного порядка разделения, когда в первую очередь отделяется вы-
сококипящий компонент, колонны характеризуются параметрами:
- Коэффициент массопереноса для первой колонны k
21
;
- Коэффициент массопереноса для второй колонны k
22
;
- Коэффициенты теплопереноса для первой колонны, в кубе и дефлегмато-
ре, соответственно β
B
21
, β
D
21
;
- Коэффициенты теплопереноса для второй колонны β
B
22
, β
D
22
;
Выражение для характеристических коэффициентов b и a при этом для
первой колонны:
b
21
= −
T
2
− T
1
RT
2
T
1
[(x
0
+ x
1
) ln (x
0
+ x
1
) + x
2
ln x
2
]
, (2.40)
a
21
= −
1
β
B
21
T
2
2
+
1
β
D
21
T
2
1
+
2
k
21
r
2
01
1
R [(x
0
+ x
1
) ln (x
0
+ x
1
) + x
2
ln x
2
]
. (2.41)
Для второй колонны:
b
22
= −
T
1
− T
0
RT
1
T
0
(
x
0
1−x
2
ln
x
0
1−x
2
+
x
1
1−x
2
ln
x
1
1−x
2
)
, (2.42)
a
22
= −
1
β
B
22
T
2
1
+
1
β
D
22
T
2
0
+
2
k
22
r
2
0
1
R(
x
0
1−x
2
ln
x
0
1−x
2
+
x
1
1−x
2
ln
x
1
1−x
2
)
. (2.43)
Проанализируем зависимость производительности каскада от суммарных за-
трат теплоты с использованием параметризованного представления для каждо-
40
го порядка разделения.
Максимальная производительность каскада равна максимальной произво-
дительности первой колонны:
g
∗
F
=
b
2
i1
4a
i1
. (2.44)
В качестве первой целесообразно выбрать колонну, для которой максимальная
производительность больше (значение коэффициента необратимости меньше),
так как на нее поступает весь поток смеси.
Условия согласованности
Колонны должны быть согласованы таким образом, чтобы максимальной
производительности первой колонны по исходной смеси, соответствовала до-
пустимая производительность второй по поступающему на нее двухкомпонент-
ному потоку. Это для прямого и обратного порядка разделения приводит к
неравенствам (условиям согласованности каскада):
- для прямого порядка разделения
b
2
12
(1 − x
0
)a
12
≥
b
2
11
a
11
, (2.45)
- для обратного порядка разделения
b
2
22
(1 − x
2
)a
22
≥
b
2
21
a
21
. (2.46)
Так как рост максимальной производительности требует увеличения размеров
колонны или поверхностей теплообмена, то в оптимальном случае максималь-
ной производительности первой колонны по исходной смеси должна соответ-
ствовать максимальная производительность второй колонны по поступающему
на нее потоку двухкомпонентной смеси. В этом случае неравенства (2.45), (2.46)
41
превращаются в равенства, которые будем называть условиями полной согласо-
ванности.
Из условий полной согласованности следуют соотношения:
a
12
= a
11
b
2
12
b
2
11
(1 − x
0
)
, a
22
= a
21
b
2
21
b
2
22
(1 − x
2
)
. (2.47)
Процессы мембранного разделения смесей
Оценку снизу для затрат энергии на разделение дает обратимая работа раз-
деления Гиббса A
0
, равная приросту свободной энергии смеси. Обратимая ра-
бота пропорциональна количеству разделяемой смеси, зависит от ее состава
и составов конечных продуктов. Для смесей, близких к идеальным газам или
идеальным растворам, свободная энергия (энергия Гиббса) одного моля i -го
компонента в j-ом потоке равна его химическому потенциалу
µ
ij
(T, P
j
, x
ij
) = µ
0
i
(T, P
j
) + RT ln x
ij
. (2.48)
Здесь R, T — универсальная газовая постоянная и абсолютная температура сме-
си; x
ij
–концентрация i -го компонента в j-ом потоке в мольных долях; µ
0
i
(T, P
j
)–
химический потенциал i -ой компоненты в чистом виде, известный для большин-
ства веществ; P
j
—давление в j-ом потоке. Обратимая работа разделения одного
моля смеси, состоящей из n веществ с концентрациями x
i0
(i = 1, ..., n), равна
разности химических потенциалов продуктов разделения и исходной смеси.
В дальнейшем мы будем рассматривать непрерывные процессы разделения,
производительность которых определена потоком разделяемой смеси g
0
, а тем-
пература и давление разделяемой смеси совпадают с температурой и давлением
продуктов разделения. В этом случае обратимой работе соответствует мощ-
42
ность разделения в обратимом процессе, равная при неполном разделении
p
0
= Rg
0
T
"
m
X
j=1
γ
j
n
X
i=1
x
ji
ln x
ji
−
n
X
i=1
x
i0
ln x
i0
#
= g
0
b (2.49)
и
p
0
= −Rg
0
T
n
X
i=1
x
i0
ln x
i0
= g
0
b
∗
(2.50)
при разделении на чистые компоненты. Поскольку значения p
0
зависят только
от составов входных потоков, но не от каких-либо других свойств разделяемых
веществ, использовать обратимые оценки для выбора границы разделения, по-
лучив аналог правила температурных коэффициентов в данном случае невоз-
можно.
Говорить об обратимой мощности при ненулевых потоках можно лишь в том
случае, когда коэффициенты переноса сколь угодно велики, а значит производ-
ство энтропии сколь угодно мало.
Обратимая мощность разделения обладает тем несомненным достоинством,
что она дает оценку снизу мощности разделения, не зависящую от кинетики и
организации процесса. Она зависит только от производительности (линейно) и
составов потоков на входе и на выходе системы. Недостатки обратимых оце-
нок являются следствием их универсальности: они занижены и не позволяют
судить о совершенстве организации процесса. Они не позволяют решать такие
задачи как выбор порядка разделения, распределение коэффициентов перено-
са между стадиями процесса, влияние ограниченных коэффициентов переноса,
предельно–возможная производительность.
Чтобы ставить и решать подобные задачи, нужно учесть влияние необрати-
мости, приводящей к дополнительным затратам мощности ∆p > 0. При задан-
ной производительности и составах потоков именно минимуму ∆p соответству-
ет оптимальная организация процесса. В свою очередь, необратимые затраты
в процессе, где входной и выходные потоки имеют одинаковую температуру,
43
пропорциональны производству энтропии σ, так что оптимальной организации
соответствует процесс минимальной диссипации.
Необратимые потери зависят не только от коэффициентов переноса, кос-
венно характеризующих размеры аппарата, но и от того, какой вид энергии
затрачивают на разделение. Для процессов, использующих механическую энер-
гию (мембранные процессы, центрифугирование, короткоцикловая абсорбция
и др.), необратимость связана главным образом с кинетикой массообмена. Для
процессов разделения, использующих тепловую энергию (ректификация, вы-
парка, сушка, абсорбционно-десорбционные циклы с изменением температуры
раствора и пр.), необратимые потери связаны не только с массо- но и с тепло-
обменом, сопровождающим преобразование тепловой энергии в работу разде-
ления.
Для того, чтобы рекомендации, полученные на основе анализа необратимых
затрат мощности, имели общий характер и сравнительно простую форму, введем
для механических систем некоторые упрощающие предположения:
а) Температуры и давления входного потока g
0
и выходных потоков g
j
(j =
1, . . . , m) совпадают. Это допущение предполагает, что существует си-
стема регенерации и энергия, затраченная на изменение температуры и
давления разделяемой смеси, может быть использована или возвращена
поступающему потоку. Оно позволяет выделить только ту мощность, ко-
торая тратится на разделение.
б) Потоки массопереноса пропорциональны движущей силе, т.е. линейно
зависят от разности химических потенциалов. Для i-го вещества, перехо-
дящего из потока g
0
в поток g
j
,
g
ij
= α
ij
∆µ
ij
T
, i = 1, ..., n, j = 1, ..., m. (2.51)
Здесь α
ij
— эффективный (учитывающий площадь контакта) коэффи-
циент массопереноса при выделении i-го компонента в j-ый поток,
∆µ
ij
T
44
— отнесенная к температуре разность химических потенциалов i-го ком-
понента смеси в потоке сырья и j-ом потоке (движущая сила процесса
массообмена)
∆µ
ij
= µ
i0
(T, P
0
, x
i0
) − µ
ij
(T, P
j
, x
ij
). (2.52)
в) При разделении многокомпонентных смесей поток определяется коэффи-
циентом массопереноса и разностью химических потенциалов в смеси и
в отделяемом потоке одной из компонент, наиболее близкой по свойству,
используемому для разделения, к веществам, остающимся в исходной
смеси. Такие компоненты названы в [3] ключевыми.
г) Система реализует четкое разделение, т.е. на каждой стадии смесь делится
на два потока так, что они не содержат общей компоненты. Четкое разде-
ление возможно лишь в редких случаях, но приближенно это допущение
как правило выполнено.
При сделанных допущениях разделение бинарной смеси на отдельные ком-
поненты происходит в одну, а смеси из n компонент — в (n − 1) стадию.
В механических системах разделение связано с различием свойств ком-
понент смеси (размеров молекул или частиц, плотности, веса, электрическо-
го заряда и пр.). Эти различия приводят к тому, что компоненты по разному
взаимодействуют с мембраной или абсорбентом, по разному ведут себя в си-
ловом, электрическом или магнитном поле. Будем предполагать, что свойство,
использующееся для разделения компонентов, можно количественно измерить
и упорядочить компоненты смеси по возрастанию или убыванию этого свойства.
Рассмотрим задачи о выборе границы разделения и распределении поверх-
ности контакта между отдельными ступенями, соответствующем минимальным
затратам энергии для механических систем разделения. Полученные результаты
позволяют найти предельные возможности систем и оценить степень совершен-
ства действующей системы, сравнивая ее показатели с предельными.
45
Бинарные и псевдобинарные смеси. Выбор отделяемого компонента.
Разделение бинарной смеси на две компоненты или псевдобинарной на два
потока реализуется на одной стадии. Необратимые затраты мощности на разде-
ление зависят от того, какую из компонент отделяют, они определены свойства-
ми отделяемой компоненты. При этом нужно учесть различие концентраций и
зависимость коэффициентов масссопереноса от выбора отделяемой компонен-
ты. Эти затраты равны производству энтропии σ, умноженному на температуру
T. В свою очередь, σ в процессе необратимого массопереноса может быть под-
считано, как произведение потока на движущую силу.
Поток массопереноса определен разностью химических потенциалов перво-
го (отделяемого) компонента в смеси и в отделяемом потоке. Он связан с расхо-
дом смеси и с концентрацией отделяемого компонента в ней как g
i
= g
0
P
i
x
i0
.
С другой стороны, он пропорционален движущей силе с коэффициентом мас-
сопереноса α, пропорциональным поверхности контакта: g = α∆µ. Выражая
движущую силу через поток и коэффициент массопереноса, получим необра-
тимые затраты мощности в форме
∆p = T σ = T
X
i
g
i
∆µ
i
T
= T
X
i
g
2
i
α
i
= T g
2
0
X
i
x
2
i0
α
i
. (2.53)
Выражение (2.53) справедливо при ограничениях 0 ≤ x
i0
< 1.
Коэффициент массопереноса зависит от размеров аппарата и удельного ко-
эффициента массопереноса δ как α = Sδ, где S-эффективная площадь кон-
такта. Будем называть отношение X
i
=
x
i0
√
δ
i
— приведенной концентрацией i-го
компонента в смеси. В этих обозначениях необратимая мощность
∆p = T
X
i
g
2
i
α
i
= T g
2
0
X
i
X
2
i
S
i
. (2.54)
Таким образом, целесообразно в качестве отделяемой выбирать компо-