55
опциона, тем меньше временная стоимость. Также важно заметить, что цена
(премия) опционов «при своих» и «без денег» равна временной стоимости.
Рассмотрим два примера расчета временной стоимости:
1) Текущая цена акции АЛРОСА равна 100 рублей, рассчитайте
временную стоимость опциона кол с ценой исполнения 95 рублей и
стоимостью 7 рублей (опцион «при деньгах»).
Внутренняястоимость рублей рублей рублей
Временнаястоимость рублей рублей рубля
2) Текущая цена акции АЛРОСА равна 100 рублей, рассчитайте
временную стоимость опциона кол с ценой исполнения 95 рублей и
стоимостью 7 рублей (опцион «без денег»).
Т.к. опцион «без денег» и цена исполнения опциона больше текущей
цены базового актива, то инвестор полагает внутреннюю стоимость равной
нулю.
Временнаястоимость рублей рублей рублей
2.3 Основные опционные стратегии
«Опционная стратегия – это комбинация разных опционов и, возможно,
базового актива в одном портфеле, который создан для достижения
поставленной инвестором цели».
Таким образом, комбинируя лишь два вида опционов и базовый
актив, инвестор способен создать около пятидесяти уникальных стратегий,
позволяющих принимать эффективные инвестиционные решения в различных
рыночных ситуациях.
Рассмотрим одну из базовых опционных стратегий – straddle.
«Straddle – стратегия, состоящая из опциона кол и опциона пут с
одинаковой ценой исполнения и истекающих в один день».
Эта стратегия применяется, когда инвестор ожидает что цена базового
актива выйдет за пределы торгового коридора, то есть за пределы точек
окупаемости.
56
Например, акции «Сбербанка» торговались в течение трех дней в
интервале от 179 до 187 рублей за акцию. Инвестор предполагает, что рынок
выйдет из этого коридора, и покупает straddle: покупает кол опцион с ценой
исполнения 183 рубля и также покупает пут опцион с ценой исполнения
183 рубля за 2 рубля каждый.
Таким образом, если цена акции «Сбербанка» выйдет за пределы
ценового коридора [179;187] (83±4), то инвестор получит прибыль.
На рис. 2.5 при графическом построении этой стратегии премии по
опционам кол и пут складываются, но цена исполнения не изменится.
ПОКУПКА STRADDLE
Цена исполнения
ФИНАНСОВЫЙ РЕЗУЛЬТАТ
ЦЕНА АКТИВА
Рис. 2.5 Финансовый результат покупки straddle
46
Точки окупаемости можно вычислить:
Ценаисполнения ????Премияопционакол Премияопционапут????
Продавец полагает, что цена не выйдет за пределы коридора или
останется неизменной. Таким образом, риск инвестора при продаже
опционной стратегии straddle не ограничен.
46
Источник: разработано автором на основе сайта компании «Option» - http://www.option.ru
57
ПРОДАЖА STRADDLE
Цена
исполнения
ФИНАНСОВЫЙ РЕЗУЛЬТАТ
ЦЕНА АКТИВА
Рис. 2.6 Финансовый результат продажи straddle
47
Вторая популярная стратегия среди инвесторов – strangle.
«Strangle – стратегия, состоящая из опциона кол и опциона пут с
разными ценами исполнения и истекающих в один день»
48
.
Инвесторы обычно покупают strangle, когда ожидают значительное
колебание цен, но не обладают денежными средствами, достаточными для
покупки straddle. Как следствие, strangle экономнее straddle.
Например, инвестор покупает опционную стратегию strangle на акции
компании «Газпром»: опцион кол с ценой исполнения 120 рублей за 10 рублей
и опцион пут с ценой исполнения 110 рублей за 8 рублей, ожидая, что цена
акции «Газпром» пробьет ценовой коридор [92;138] (110-10-8 и 120+10+8).
Если такая ситуация произойдет, то покупатель опционной стратегии strangle
получит прибыль. В худшем случае ни один опцион не будет исполнен и
убыток инвестора составит 18 рублей (10+8).
47
Источник: разработано автором на основе сайта компании «Option» - http://www.option.ru
48
Вайн Саймон. Опционы. Полный курс для профессионалов. – М.: Альпина Паблишер, 2009. – 416 с.
58
ПОКУПКА STRANGLE
Цена исполнения
пут опциона
ФИНАНСОВЫЙ РЕЗУЛЬТАТ
ЦЕНА АКТИВА
Цена исполнения
кол-опциона
Рис. 2.7 Финансовый результат покупки strangle
49
Покупка strangle (рис.2.7) очень схожа с покупкой straddle (рис.2.5).
Отличие состоит лишь в том, что из-за разных цен исполнения опционов кол
и пут график на рисунке 2.7 принимает более вытянутую форму, однако суть
стратегии остается той же.
ПРОДАЖА STRANGLE
Цена исполнения
пут опциона
ФИНАНСОВЫЙ РЕЗУЛЬТАТ
ЦЕНА АКТИВА
Цена исполнения
кол опциона
Рис. 2.8 Финансовый результат продажи strangle
50
Как и в случае с продажей straddle, инвестор продает strangle, если
ожидает, что цена не изменится или не выйдет за пределы ценового коридора
(точек окупаемости). Следует обратить внимание, что продажа strangle
49
Источник: разработано автором на основе сайта компании «Option» - http://www.option.ru
50
Источник: разработано автором на основе сайта компании «Option» - http://www.option.ru
59
выгоднее, чем продажа straddle, так как если цена останется в ценовом
коридоре и, вдобавок, не выйдет за пределы цен исполнения опционов кол и
пут, то с большей долей вероятности инвестор сохранит свою прибыль в
размере премий по опционам кол и пут.
Хотелось бы также уделить внимание ещё одной не менее маловажной
опционной стратегии, которой я отдаю своё предпочтение. Её название –
спрэд
51
.
Данная стратегия предоставляет большие возможности для хеджирования
рисков купли/продажи. У спрэда существует две разновидности:
бычий спрэд, рассчитанный на рост рынка. состоит из купленных
опционов колл и проданных опционов колл с более высокой ценой
исполнения, либо из проданных опционов пут и купленных опционов
пут с более низкой ценой исполнения
Медвежий спрэд, рассчитанный на падение рынка. Строится из
проданных опционов колл и купленных опционов колл с более высоким
страйком, либо из покупки опционов пут и продажи опционов пут с
более низким страйком.
Прибыли или убытки по данной стратегии ограничены. Но интерес к ней
проявляется тем, что базовый актив является захеджированным с обеих
сторон.
Так, например, если акции компании «Х» торгуются по цене 80
долларов, то инвестор может купить январский «колл» опцион по базовым
активам с ценой исполнения 79 со стоимостью 4, а далее продать январский
опцион, но уже с ценой исполнения 85 по цене 2. По сути, это тот объем
средств, которые трейдер тратит на удержание позиции (без учета
комиссионных средств).
То есть, например, рынок пошёл вверх и цена акции составила 84
доллара. Инвестор приобретает опцион на акцию за 79, платя премию 4, и
51
Опционные стратегии - http://www.option.ru
60
получает 1 прибыли (84-79-4), а так же получает прибыль от продажи опциона
«колл» с ценой исполнения 85( опцион не исполнится, прибыль равна премии
= 2) итого, 1+2 = 3 единицы прибыли.
Если же цена поднялась слишком сильно и стала равна 100 долларам.
Прибыль инвестора: 100-79-4+(85-100+2) = 4. Выше прибыль уже не
поднимется.
Если цена опустилась вниз, например, до 70, убыток инвестора равен
уплаченной премии и полученной премии( -4+2 = -2), ниже он не опустится.
Применение такого call спреда на практике сложно назвать
однозначным. С одной стороны, снижаются риски, а с другой - ограничивается
и допустимый объем прибыли. То есть прибыль и убытки по спрэдам
ограничены.
2.4 Методы оценки опционов
С появление опционных контрактов на срочном рынке инвесторы
пытались справедливо оценить стоимость того или иного опциона для
принятия инвестиционных решений. Для этого разрабатывались и
совершенствовались методы оценки опционов. Одним из первых методов
оценки опционов стала модель биномиального древа (binominal tree),
разработанная Коксом (Cox), Россом (Ross) и Рубинштейном (Rubinstein) и
опубликованной в статье «Option pricing: A simplified approach» журнала
«Journal of Financial Economics» в 1979 году.
Модель биномиального древа представляет собой диаграмму,
отражающую различные варианты изменения цены акции в течение срока
действия опционного контракта. В основе модели – предположение, что цена
акции подчиняется законам случайного блуждания (random walk).
Рассмотрим простой пример:
Допустим, текущая цена акции равна 100 долл., а через месяц она будет
равна либо 120 долл. либо 80 долл. Инвестора интересует оценка европейского
опциона колл с ценой исполнения 110 долл. через месяц.
61
Цена акции 100 долл.
Цена акции 120 долл.
Стоимость опциона 10 долл.
Цена акции 80 долл.
Стоимость опциона 0 долл.
Рис. 2.9 Изменение цены акции в одноступенчатой биномиальной
модели
На рисунке 2.9 показано, что цена опциона через месяц примет одно из
двух значений. Если цена акции будет равна 120 долл., стоимость опциона
будет равна 10 долл. Если же цена акции будет равна 80 долл., то стоимость
опциона будет равна нулю.
Оценка стоимости опциона в этом примере достаточно проста.
Необходимо предположить, что арбитражные возможности отсутствуют.
Инвестор создает инвестиционный портфель, состоящий из акций и
опциона, так, чтобы стоимость портфеля через месяц была точно
определенной. В виду того, что этот портфель не подвержен никакому риску,
доходность, которую он принесет за месяц, равна безрисковой процентной
ставке. Это позволяет оценить стоимость портфеля, а значит, и стоимость
опциона.
Рассмотрим портфель инвестора, состоящий из длинной позиции по
пакету, состоящему из Δ акций, и короткой позиции по одному опциону колл.
Найдем величину Δ, гарантирующую безрисковость портфеля. Если цена
акции поднимется со 100 до 120 долларов, стоимость пакета акций будет
равна 120Δ, а опцион будет стоить 10 долларов. Таким образом, общая
стоимость портфеля равна 120Δ-10 долларов. Если цена акции упадет со
100 до 80 долларов, то стоимость пакета акций будет равна 80Δ, а стоимость
опциона будет равна нулю. Таким образом, стоимость портфеля будет равна
80Δ долларов. Портфель становится безрисковым, если величина Δ выбрана
62
так, что стоимость портфеля в обоих вариантах является одинаковой. Отсюда
следует, что:
т.е.
Таким образом, безрисковый порфтель состоит из следующих ценных
бумаг:
Длинная позиция: 0,25 акции.
Короткая позиция: один опцион.
Если цена акции поднимется до 120 долларов, стоимость портфеля
станет равной
Если цена акции упадет до 80 долларов, стоимость портфеля останется
равной
Итак, независимо от изменений цены акции, стоимость портфеля в
момент исполнения опциона является постоянной.
При отсутствии арбитражных возможностей безрисковый портфель
акций должен приносить доходность, равную безрисковой процентной ставке.
Допустим, что в нашем примере безрисковая процентная ставка установлена
на уровне 14% годовых. Следовательно, текущая стоимость портфеля должна
быть равной текущей стоимость 20 долларов, то есть
Текущая стоимость цены акции равна 100 долларов. Пусть, цена
опциона равна λ. Тогда текущую стоимость инвестиционного портфеля можно
вычислить следующим образом:
Отсюда следует, что
63
то есть
Следовательно, при отсутствии арбитражных возможностей текущая
стоимость опциона должна быть равной 5,232 долларов. Если бы стоимость
опциона была больше 5,232 долларов, то стоимость портфеля стала бы ниже
19,768 долларов, а его доходность – выше безрисковой ставки. Если бы
стоимость опциона была меньше 5,232 долларов, то, продав портфель акций
без покрытия, инвестор сделал бы заем по ставке, ниже безрисковой.
Пример можно усложнить, добавив вероятности достижения цен. Пусть
вероятность повышение акции со 100 до 120 долларов через месяц равна p.
Следовательно, вероятность снижения цены акции со 100 до 80 долларов
равна (1-p). Безрисковая процентная ставка не изменилась и, по-прежнему,
равна 14% годовых.
Выразим это в уравнении:
????
????
Отсюда следует, что
т.е.
Таким образом, вероятность того, что через месяц опцион колл будет
стоить 10 долларов равна 0,529, а вероятность того, что опцион станет
бесполезным – 0,471.
Следовательно, ожидаемая стоимость опциона будет равна:
????
????
Этот ответ полностью соответствует результату, полученному ранее при
демонстрации отсутствия арбитражных возможностей.
Подытожив, можно сказать, что на каждом шаге по времени существует
определенная вероятность того, что цена акции увеличится или уменьшится
на некую относительную величину. Одним из недостатков модели
64
биномиального древа является громоздкость расчетов при большом
количестве временных шагов. Однако если величина временного шага
стремится к нулю, это приводит к предположению, что цены акций имеют
логнормальное распределение, лежащее в основе модели Блэка-Шоулза.
В начале 1970-х годов Фишер Блэк (Fisher Black)
52
, Мейрон Шоулз
(Myron Scholes)
53
, Роберт Мертон (Robert Merton)
54
вывели формулу модели
оценки опционов, тем самым совершив фундаментальное открытие в теории
ценообразования фондовых опционов. Эта формула получила название Блэка-
Шоулза (Black–Scholes Option Pricing Model, OPM), а в 1973 году впервые
была опубликована в статье «The Pricing of Options and Corporate Liabilities».
Опционная модель Блэка-Шоулза разрабатывалась на основе исследований
предыдущих работ Джека Трейнора, Пола Самуэльсона
55
, Джеймса Бонеса и
Эдварда Торпа в период бурного роста организованной торговли опционами
на Чикагской бирже.
Простота практического использования модели Блэка-Шоулза
предоставила трейдерам новые способы регулирования цен и хеджирования
опционов, а также способствовала развитию финансовой инженерии в
последующие десятилетия. В 1997 году за свой труд Роберт Мертон и Майрон
Шоулз были удостоены Нобелевской премии в области экономики.
Как у любой другой модели, у модели Блэка-Шоула имеется ряд
ограничений выраженных следующими условиями:
52
Fischer Sheffey Black (11 января 1938 года – 30 августа 1995), американский экономист, наиболее известен
как один из авторов известной модели Блэка-Шоулза (модели ценообразования опционов) –
http://en.wikipedia.org/wiki/Fischer_Black
53
Ма
йрон Сэмюэл Шо
улз (англ. Myron Samuel Scholes; 1 июля 1941, Тимминс, провинция Онтарио, Канада)
- американский экономист канадского происхождения, лауреат Нобелевской премии 1997 года «за новый
метод определения стоимости производных ценных бумаг». Шоулз является одним из авторов финансовой
модели Блэка-Шоулза (модели ценообразования опционов). http://ru.wikipedia.org/wiki/Шоулз,_Майрон
54
Роберт Кархарт Мертон (англ. Robert Carhart Merton; род. 31 июля 1944, Нью-Йорк) – американский
экономист, лауреат Нобелевской премии по экономике (1997) «за новый метод определения стоимости
производных ценных бумаг». – http://ru.wikipedia.org/wiki/Мертон,_Роберт_Кархарт
55
Paul Anthony Samuelson (15 мая 1915, Гэри, штат Индиана, 13 декабря 2009, Белмонт, Массачусетс)
выдающийся американский экономист, лауреат Нобелевской премии по экономике (1970 года) «за научную
работу, развившую статическую и динамическую экономическую теорию, и внесшую вклад в повышение
общего уровня анализа в области экономической науки».
Википедия – http://ru.wikipedia.org/wiki/Самуэльсон,_Пол_Энтони